Расстояние от точки до прямой в трёхмерном пространстве

Расстояние от точки до прямой в пространстве [1:09]

Расстояние от точки до прямой (метод координат) [5:40]

Формула расстояния от точки до прямой в координатной форме

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра к прямой, опущенного из точки.

Обозначения

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar r_0=(x_0,y_0,z_0)} — радиус-вектор точки;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar r_1=(x_1,y_1,z_1)} — радиус-вектор точки на прямой;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar s_1=(l_1,m_1,n_1)} — направляющий вектор прямой;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{x-x_1}{l_1}=\frac{y-y_1}{m_1}=\frac{z-z_1}{n_1}} — уравнение прямой;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d_{01}} — расстояние от точки до прямой.

Формулы

Векторная форма

Для точки и прямой формула расстояния имеет вид:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d_{01}=\frac{\left|\left[\left(\bar r_0-\bar r_1\right)\times\bar s_1\right]\right|}{\left|\bar s_1\right|} \Leftrightarrow d_{01}=\frac{S_{\left(\bar r_0-\bar r_1\right)\bar s_1}}{\left|\bar s_1\right|}}

Расстояние от точки до прямой равно отношению модуля векторного произведения векторов (r₀ − r₁) и s₁ к длине вектора s₁. Геометрический смысл формулы: расстояние — это длина высоты параллелограмма (построенного на векторах (r₀ − r₁) и s₁), опущенной на основание параллелограмма в виде вектора (s₁), равная отношению площади параллелограмма к длине основания.

Координатная форма

Формула расстояния от точки до прямой в координатной форме имеет вид:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d_{01}=\frac{\sqrt{\begin{vmatrix} x_0-x_1 & y_0-y_1 \\ l_1 & m_1 \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix} y_0-y_1 & z_0-z_1 \\ m_1 & n_1 \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix} z_0-z_1 & x_0-x_1 \\ n_1 & l_1 \end{vmatrix}^2}}{\sqrt{l_1^2+m_1^2+n_1^2}}}

Пример

Даны точка и прямая: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (-4;3;5)} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{x-1}{-2}=\frac{y+5}{3}=\frac{z+1}{4}} .

Найти расстояние между ними.

Решение.

Дана точка Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (-4;3;5)\Rightarrow\bar r_0=(-4;3;5)}

Дана прямая Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{x-1}{-2}=\frac{y+5}{3}=\frac{z+1}{4}\Rightarrow\bar r_1=(1;-5;-1),\ \bar s_1=(-2;3;4)}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar r_0-\bar r_1=(-4;3;5)-(1;-5;-1)=(-5;8;6)}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left[\left(\bar r_0-\bar r_1\right)\times\bar s_1\right]=\left[(-5;8;6)\times(-2;3;4)\right]=\begin{vmatrix} \bar i & \bar j & \bar k\\ -5 & 8 & 6\\ -2 & 3 & 4\end{vmatrix} =14\bar i+8\bar j+\bar k=(14;8;1)}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|\left[\left(\bar r_0-\bar r_1\right)\times\bar s_1\right]\right|=\left|(14;8;1)\right|=\sqrt{14^2+8^2+1^2}=\sqrt{196+64+1}=\sqrt{261}}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|\bar s_1\right|=\left|(-2;3;4)\right|=\sqrt{(-2)^2+3^2+4^2}=\sqrt{4+9+16}=\sqrt{29}}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d_{01}=\frac{\left|\left[\left(\bar r_0-\bar r_1\right)\times\bar s_1\right]\right|}{\left|\bar s_1\right|}=\frac{\sqrt{261}}{\sqrt{29}}=\sqrt{\frac{261}{29}}=\sqrt{9}=3}

Другие формулы:

1. расстояние между точками;
2. расстояние между прямыми;
3. расстояние от точки до прямой;
4. расстояние от точки до плоскости.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970