Расстояние от точки до прямой в трёхмерном пространстве

Расстояние от точки до прямой в пространстве [1:09]

Расстояние от точки до прямой (метод координат) [5:40]

Формула расстояния от точки до прямой в координатной форме

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра к прямой, опущенного из точки.

Обозначения

Введём обозначения:

[math]\displaystyle{ \bar r_0=(x_0,y_0,z_0) }[/math] — радиус-вектор точки;

[math]\displaystyle{ \bar r_1=(x_1,y_1,z_1) }[/math] — радиус-вектор точки на прямой;

[math]\displaystyle{ \bar s_1=(l_1,m_1,n_1) }[/math] — направляющий вектор прямой;

[math]\displaystyle{ \frac{x-x_1}{l_1}=\frac{y-y_1}{m_1}=\frac{z-z_1}{n_1} }[/math] — уравнение прямой;

[math]\displaystyle{ d_{01} }[/math] — расстояние от точки до прямой.

Формула

Для точки и прямой формула расстояния имеет вид:

[math]\displaystyle{ d_{01}=\frac{\left|\left[\left(\bar r_0-\bar r_1\right)\times\bar s_1\right]\right|}{\left|\bar s_1\right|} \Leftrightarrow d_{01}=\frac{S_{\left(\bar r_0-\bar r_1\right)\bar s_1}}{\left|\bar s_1\right|} }[/math]

Расстояние от точки до прямой равно отношению модуля векторного произведения векторов (r₀ − r₁) и s₁ к длине вектора s₁. Геометрический смысл формулы: расстояние — это длина высоты параллелограмма (построенного на векторах (r₀ − r₁) и s₁), опущенной на основание параллелограмма в виде вектора (s₁), равная отношению площади параллелограмма к длине основания.

Формула расстояния от точки до прямой в координатной форме имеет вид:

[math]\displaystyle{ d_{01}=\frac{\sqrt{\begin{vmatrix} x_0-x_1 & y_0-y_1 \\ l_1 & m_1 \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix} y_0-y_1 & z_0-z_1 \\ m_1 & n_1 \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix} z_0-z_1 & x_0-x_1 \\ n_1 & l_1 \end{vmatrix}^2}}{\sqrt{l_1^2+m_1^2+n_1^2}} }[/math]

Пример

Даны точка и прямая: [math]\displaystyle{ (-4;3;5) }[/math] и [math]\displaystyle{ \frac{x-1}{-2}=\frac{y+5}{3}=\frac{z+1}{4} }[/math].

Найти расстояние между ними.

Решение.

Дана точка [math]\displaystyle{ (-4;3;5) \Rightarrow \bar r_0=(-4;3;5) }[/math]

Дана прямая [math]\displaystyle{ \frac{x-1}{-2}=\frac{y+5}{3}=\frac{z+1}{4} \Rightarrow \bar r_1=(1;-5;-1), \ \bar s_1=(-2;3;4) }[/math]

[math]\displaystyle{ \bar r_0-\bar r_1=(-4;3;5)-(1;-5;-1)=(-5;8;6) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left[\left(\bar r_0-\bar r_1\right)\times\bar s_1\right]=\left[(-5;8;6)\times(-2;3;4)\right]=\begin{vmatrix} \bar i & \bar j & \bar k \\ -5 & 8 & 6 \\ -2 & 3 & 4 \end{vmatrix} = = 14\bar i +8\bar j+\bar k=(14;8;1) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left|\left[\left(\bar r_0-\bar r_1\right)\times\bar s_1\right]\right|=\left|(14;8;1)\right|=\sqrt{14^2+8^2+1^2}=\sqrt{196+64+1}=\sqrt{261} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left|\bar s_1\right|=\left|(-2;3;4)\right|=\sqrt{(-2)^2+3^2+4^2}=\sqrt{4+9+16}=\sqrt{29} }[/math]

[math]\displaystyle{ d_{01}=\frac{\left|\left[\left(\bar r_0-\bar r_1\right)\times\bar s_1\right]\right|}{\left|\bar s_1\right|}=\frac{\sqrt{261}}{\sqrt{29}}=\sqrt{\frac{261}{29}}=\sqrt{9}=3 }[/math]

Другие формулы

• Расстояние между точками;
• Расстояние между прямыми;
• Расстояние от точки до прямой;
• Расстояние от точки до плоскости.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970.