Расстояние между прямыми в трёхмерном пространстве

Видеоурок «Расстояние между прямыми в пространстве» // Математика от alwebra.com.ua [6:52]

С2 ЕГЭ. Расстояние между скрешивающиеся прямыми // Alex Nij [9:42]

Расстояние между прямыми — это длина перпендикуляра к этим прямым, соединяющего две точки этих прямых (одна точка на одной прямой, другая на другой).

Обозначения

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar r_1 = (x_1, y_1, z_1) }  — радиус-вектор точки на первой прямой;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar r_2 = (x_2, y_2, z_2) }  — радиус-вектор точки на второй прямой;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar s_1 = (l_1, m_1, n_1) }  — направляющий вектор первой прямой;

${\bar {s}}_{2}=(l_{2},m_{2},n_{2})$ — направляющий вектор второй прямой;

${\frac {x-x_{1}}{l_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{m_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{n_{1}}}$ — уравнение первой прямой;

${\frac {x-x_{2}}{l_{2}}}={\frac {y-y_{2}}{m_{2}}}={\frac {z-z_{2}}{n_{2}}}$ — уравнение второй прямой;

$d_{12}$ — расстояние между первой и второй прямыми.

Формулы для скрещивающихся прямых

Формула для скрещивающихся прямых в координатной форме

Векторная форма

Для скрещивающихся прямых формула имеет вид:

$d_{12}={\frac {\left|\left({\overline {r}}_{2}-{\overline {r}}_{1}\right){\overline {s}}_{1}{\overline {s}}_{2}\right|}{\left|\left[{\overline {s}}_{1}\times {\overline {s}}_{2}\right]\right|}}\Leftrightarrow d_{12}={\frac {\left|\left(\left({\overline {r}}_{2}-{\overline {r}}_{1}\right)\cdot \left[{\overline {s}}_{1}\times {\overline {s}}_{2}\right]\right)\right|}{\left|\left[{\overline {s}}_{1}\times {\overline {s}}_{2}\right]\right|}}\Leftrightarrow d_{12}={\frac {\left|\left(\left[\left({\overline {r}}_{2}-{\overline {r}}_{1}\right)\times {\overline {s}}_{1}\right]\cdot {\overline {s}}_{2}\right)\right|}{\left|\left[{\overline {s}}_{1}\times {\overline {s}}_{2}\right]\right|}}\Leftrightarrow d_{12}={\frac {V_{\left({\overline {r}}_{2}-{\overline {r}}_{1}\right){\overline {s}}_{1}{\overline {s}}_{2}}}{S_{{\overline {s}}_{1}{\overline {s}}_{2}}}}$

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно отношению модуля смешанного произведения векторов (r₂ − r₁), s₁ и s₂ к модулю векторного произведения векторов s₁ и s₂. Геометрический смысл формулы: расстояние — это длина высоты параллелепипеда (построенного на векторах (r₂ − r₁), s₁ и s₂), опущенной на основание в виде параллелограмма (построенного на векторах s₁ и s₂), равная отношению объёма параллелепипеда к площади параллелограмма.

Координатная форма

Формула расстояния между скрещивающимися прямыми в координатной форме имеет вид:

$d_{12}={\frac {\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\l_{1}&m_{1}&n_{1}\\l_{2}&m_{2}&n_{2}\end{vmatrix}}{\sqrt {{\begin{vmatrix}l_{1}&m_{1}\\l_{2}&m_{2}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}m_{1}&n_{1}\\m_{2}&n_{2}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}n_{1}&l_{1}\\n_{2}&l_{2}\end{vmatrix}}^{2}}}}$

Пример

Даны две скрещивающиеся прямые: ${\frac {x-1}{-2}}={\frac {y+5}{3}}={\frac {z+1}{4}}$ и ${\frac {x+2}{-2}}={\frac {y-1}{2}}={\frac {z-2}{3}}$.

Найти расстояние между ними.

Решение.

Формулы для параллельных прямых

Формула для параллельных прямых в координатной форме

Векторная форма

Для параллельных прямых формула имеет вид:

$d_{01}={\frac {\left|\left[\left({\bar {r}}_{2}-{\bar {r}}_{1}\right)\times {\bar {s}}_{1}\right]\right|}{\left|{\bar {s}}_{1}\right|}}\Leftrightarrow d_{12}={\frac {S_{\left({\bar {r}}_{2}-{\bar {r}}_{1}\right){\bar {s}}_{1}}}{\left|{\bar {s}}_{1}\right|}}$

Расстояние между параллельными прямыми равно отношению модуля векторного произведения векторов (r₂ − r₁) и s₁ к длине вектора s₁. Геометрический смысл формулы: расстояние — это длина высоты параллелограмма (построенного на векторах (r₂ − r₁) и s₁), опущенной на основание параллелограмма в виде вектора (s₁), равная отношению площади параллелограмма к длине основания.

Координатная форма

Формула расстояния между параллельными прямыми в координатной форме имеет вид:

$d_{12}={\frac {\sqrt {{\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\\l_{1}&m_{1}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\m_{1}&n_{1}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}z_{2}-z_{1}&x_{2}-x_{1}\\n_{1}&l_{1}\end{vmatrix}}^{2}}}{\sqrt {l_{1}^{2}+m_{1}^{2}+n_{1}^{2}}}}$

• Для параллельных прямых формула верна для векторов (r₂ − r₁) и s₂ так же, как и для векторов (r₂ − r₁) и s₁.

Пример

Даны две параллельные прямые: ${\frac {x-1}{-2}}={\frac {y+5}{3}}={\frac {z+1}{4}}$ и ${\frac {x+4}{4}}={\frac {y-3}{-6}}={\frac {z-5}{-8}}$.

Найти расстояние между ними.

Решение.

${\frac {x-1}{-2}}={\frac {y+5}{3}}={\frac {z+1}{4}}\Rightarrow {\bar {r}}_{1}=(1;-5;-1),\ {\bar {s}}_{1}=(-2;3;4)$

${\frac {x+4}{4}}={\frac {y-3}{-6}}={\frac {z-5}{-8}}\Rightarrow {\bar {r}}_{2}=(-4;3;5),\ {\bar {s}}_{1}=(4;-6;-8)$

${\bar {r}}_{2}-{\bar {r}}_{1}=(-4;3;5)-(1;-5;-1)=(-5;8;6)$

$\left[\left({\overline {r}}_{2}-{\overline {r}}_{1}\right)\times {\overline {s}}_{1}\right]=\left[(-5;8;6)\times (-2;3;4)\right]={\begin{vmatrix}{\bar {i}}&{\bar {j}}&{\bar {k}}\\-5&8&6\\-2&3&4\end{vmatrix}}==14{\bar {i}}+8{\bar {j}}+{\bar {k}}=(14;8;1)$

$\left|\left[\left({\overline {r}}_{2}-{\overline {r}}_{1}\right)\times {\overline {s}}_{1}\right]\right|=\left|(14;8;1)\right|={\sqrt {14^{2}+8^{2}+1^{2}}}={\sqrt {196+64+1}}={\sqrt {261}}$

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left| \bar s_1 \right| = \left|(-2; 3; 4) \right| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d_{12} = \frac{ \left| \left[ \left( \overline{r}_2 - \overline{r}_1 \right) \times \overline{s}_1 \right] \right|}{ \left| \bar s_1 \right|} = \frac{ \sqrt{261}}{ \sqrt{29}} = \sqrt{ \frac{261}{29}} = \sqrt{9} = 3}

Другие формулы:

1. расстояние между точками;
2. расстояние между прямыми;
3. расстояние от точки до прямой;
4. расстояние от точки до плоскости.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.