Расстояние между прямыми в трёхмерном пространстве

Видеоурок «Расстояние между прямыми в пространстве» // Математика от alwebra.com.ua [6:52]

С2 ЕГЭ. Расстояние между скрешивающиеся прямыми // Alex Nij [9:42]

Расстояние между прямыми — это длина перпендикуляра к этим прямым, соединяющего две точки этих прямых (одна точка на одной прямой, другая на другой).

Обозначения

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar r_1 = (x_1, y_1, z_1) }  — радиус-вектор точки на первой прямой;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar r_2 = (x_2, y_2, z_2) }  — радиус-вектор точки на второй прямой;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar s_1 = (l_1, m_1, n_1) }  — направляющий вектор первой прямой;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar s_2 = (l_2, m_2, n_2) }  — направляющий вектор второй прямой;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{x - x_1}{l_1} = \frac{y - y_1}{m_1} = \frac{z - z_1}{n_1}}  — уравнение первой прямой;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{x - x_2}{l_2} = \frac{y - y_2}{m_2} = \frac{z - z_2}{n_2}}  — уравнение второй прямой;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d_{12}}  — расстояние между первой и второй прямыми.

Формулы для скрещивающихся прямых

Формула для скрещивающихся прямых в координатной форме

Векторная форма

Для скрещивающихся прямых формула имеет вид:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d_{12} = \frac{ \left| \left( \overline{r}_2 - \overline{r}_1 \right) \overline{s}_1 \overline{s}_2 \right|}{\left| \left[ \overline{s}_1 \times \overline{s}_2 \right]\right|} \Leftrightarrow d_{12} = \frac{\left| \left( \left( \overline{r}_2 - \overline{r}_1 \right) \cdot \left[ \overline{s}_1 \times \overline{s}_2 \right] \right) \right|}{ \left| \left[ \overline{s}_1 \times \overline{s}_2 \right] \right|} \Leftrightarrow d_{12} = \frac{ \left| \left( \left[ \left( \overline{r}_2 - \overline{r}_1 \right) \times \overline{s}_1 \right] \cdot \overline{s}_2 \right) \right|}{ \left| \left[ \overline{s}_1 \times \overline{s}_2 \right] \right|} \Leftrightarrow d_{12} = \frac{V_{ \left( \overline{r}_2 - \overline{r}_1 \right) \overline{s}_1 \overline{s}_2}}{S_{ \overline{s}_1 \overline{s}_2}}}

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно отношению модуля смешанного произведения векторов (r₂ − r₁), s₁ и s₂ к модулю векторного произведения векторов s₁ и s₂. Геометрический смысл формулы: расстояние — это длина высоты параллелепипеда (построенного на векторах (r₂ − r₁), s₁ и s₂), опущенной на основание в виде параллелограмма (построенного на векторах s₁ и s₂), равная отношению объёма параллелепипеда к площади параллелограмма.

Координатная форма

Формула расстояния между скрещивающимися прямыми в координатной форме имеет вид:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d_{12}=\frac{\begin{vmatrix}x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\l_1&m_1&n_1\\l_2&m_2&n_2\end{vmatrix}}{\sqrt{\begin{vmatrix}l_1&m_1\\l_2&m_2\end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}m_1&n_1\\m_2&n_2\end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}n_1&l_1\\n_2&l_2\end{vmatrix}^2}}}

Пример

Даны две скрещивающиеся прямые: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{x-1}{-2} = \frac{y+5}{3} = \frac{z+1}{4}} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{x+2}{-2} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-2}{3}} .

Найти расстояние между ними.

Решение.

Формулы для параллельных прямых

Формула для параллельных прямых в координатной форме

Векторная форма

Для параллельных прямых формула имеет вид:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d_{01} = \frac{ \left| \left[ \left( \bar r_2- \bar r_1 \right) \times \bar s_1 \right] \right|}{ \left| \bar s_1 \right|} \Leftrightarrow d_{12} = \frac{S_{ \left( \bar r_2 - \bar r_1 \right) \bar s_1}}{ \left| \bar s_1 \right|}}

Расстояние между параллельными прямыми равно отношению модуля векторного произведения векторов (r₂ − r₁) и s₁ к длине вектора s₁. Геометрический смысл формулы: расстояние — это длина высоты параллелограмма (построенного на векторах (r₂ − r₁) и s₁), опущенной на основание параллелограмма в виде вектора (s₁), равная отношению площади параллелограмма к длине основания.

Координатная форма

Формула расстояния между параллельными прямыми в координатной форме имеет вид:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d_{12} = \frac{ \sqrt{ \begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 \\ l_1 & m_1 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ m_1 & n_1 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} z_2 - z_1 & x_2 - x_1 \\ n_1 & l_1 \end{vmatrix}^2}}{ \sqrt{l_1^2 + m_1^2 + n_1^2}}}

• Для параллельных прямых формула верна для векторов (r₂ − r₁) и s₂ так же, как и для векторов (r₂ − r₁) и s₁.

Пример

Даны две параллельные прямые: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{x-1}{-2} = \frac{y + 5}{3} = \frac{z + 1}{4}} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{x+4}{4} = \frac{y - 3}{-6} = \frac{z - 5}{-8}} .

Найти расстояние между ними.

Решение.

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{x - 1}{-2} = \frac{y + 5}{3} = \frac{z + 1}{4} \Rightarrow \bar r_1 = (1; -5; -1), \ \bar s_1 = (-2; 3; 4)}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{x + 4}{4} = \frac{y - 3}{-6} = \frac{z - 5}{-8} \Rightarrow \bar r_2 = (-4; 3; 5), \ \bar s_1 = (4; -6; -8)}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar r_2 - \bar r_1 = (-4; 3; 5) - (1; -5; -1) = (-5; 8; 6)}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left[ \left( \overline{r}_2 - \overline{r}_1 \right) \times \overline{s}_1 \right] = \left[(-5; 8; 6) \times(-2; 3; 4) \right] = \begin{vmatrix} \bar i & \bar j & \bar k \\ -5 & 8 & 6 \\ -2 & 3 & 4 \end{vmatrix} = = 14 \bar i + 8 \bar j + \bar k = (14; 8; 1)}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left| \left[ \left( \overline{r}_2 - \overline{r}_1 \right) \times \overline{s}_1 \right] \right| = \left|(14; 8; 1) \right| = \sqrt{14^2 + 8^2 + 1^2} = \sqrt{196 + 64 + 1} = \sqrt{261}}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left| \bar s_1 \right| = \left|(-2; 3; 4) \right| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d_{12} = \frac{ \left| \left[ \left( \overline{r}_2 - \overline{r}_1 \right) \times \overline{s}_1 \right] \right|}{ \left| \bar s_1 \right|} = \frac{ \sqrt{261}}{ \sqrt{29}} = \sqrt{ \frac{261}{29}} = \sqrt{9} = 3}

Другие формулы:

1. расстояние между точками;
2. расстояние между прямыми;
3. расстояние от точки до прямой;
4. расстояние от точки до плоскости.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.