Расстояние от точки до плоскости в трёхмерном пространстве

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Видеоурок «Расстояние от точки до плоскости» // Математика от alwebra.com.ua [5:29]
§44 Расстояние от точки до плоскости // Мемория Высшая Математика [8:16]
Формула расстояния от точки до плоскости в координатной форме

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра к плоскости, опущенного из точки.

Обозначения[править]

Введём обозначения:

[math]\displaystyle{ \bar r_0=(x_0,y_0,z_0) }[/math] — радиус-вектор точки;

[math]\displaystyle{ \bar n_1=(A_1,B_1,C_1) }[/math] — нормаль к плоскости;

[math]\displaystyle{ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 }[/math] — уравнение плоскости;

[math]\displaystyle{ d_{01} }[/math] — расстояние от точки до плоскости.

Формула[править]

Для точки и плоскости формула расстояния имеет вид:

[math]\displaystyle{ d_{01}=\frac{\left|\left(\bar r_0\cdot \bar n_1\right)+D_1\right|}{\left|\bar n_1\right|} }[/math]

Расстояние от точки до плоскости равно отношению модуля суммы скалярного произведения векторов (r0 и n1) и коэффициента D1 к длине нормали (n1). Геометрический смысл формулы: расстояние - это длина отклонения точки от плоскости.

Формула расстояния от точки до плоскости в координатной форме имеет вид:

[math]\displaystyle{ d_{01}=\frac{\left|A_1x_0+B_1y_0+C_1z_0+D_1\right|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}} }[/math]

Пример[править]

Даны точка и плоскость: [math]\displaystyle{ (-4;3;5) }[/math] и [math]\displaystyle{ -x+2y-2z+9=0 }[/math].

Найти расстояние между ними.

Решение.

Дана точка [math]\displaystyle{ (-4;3;5) \Rightarrow \bar r_0=(-4;3;5) }[/math]
Дана плоскость [math]\displaystyle{ -x+2y-2z+9=0 \Rightarrow \bar n_1=(-1;2;-2), \ D_1=9 }[/math]
[math]\displaystyle{ \left(\bar r_0\cdot \bar n_1\right)=\left((-4;3;5)\cdot(-1;2;-2)\right)=(-4)\cdot(-1)+3\cdot 2+5\cdot(-2)=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \left|\bar n_1\right|=\left|(-1;2;-2)\right|=\sqrt{(-1)^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3 }[/math]
[math]\displaystyle{ d_{01}=\frac{\left|\left(\bar r_0\cdot \bar n_1\right)+D_1\right|}{\left|\bar n_1\right|}=\frac{|0+9|}{3}=3 }[/math]

Другие формулы[править]

Литература[править]

  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970