Усовершенствованный метод Эйлера

Усовершенствованный метод Эйлера — это численный метод получения решения дифференциального уравнения.

Описание метода

Суть усовершенствованного метода Эйлера в пошаговом вычислении значений решения y = y(x) дифференциального уравнения вида y’ = f(x, y) с начальным условием (x₀; y₀).

Усовершенствованный метод Эйлера является методом 2-го порядка точности и называется модифицированным методом Эйлера.

Формулы

[math]\displaystyle{ \begin{cases}k_1 = f(x_n,y_n)h \\ k_2 = f\left(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{k_1}{2}\right)h \\ \Delta y = k_2 \\ x_{n+1}=x_n+h \\ y_{n+1}=y_n+ \Delta y\end{cases} }[/math]

• Заметим, что исправленный метод Эйлера также (как и усовершенствованный метод Эйлера) является методом 2-го порядка точности (называется метод предиктор-корректор).

Другие методы:

• метод Эйлера;
• исправленный метод Эйлера;
• усовершенствованный метод Эйлера;
• метод Адамса третьего порядка;
• метод Рунге-Кутты третьего порядка;
• классический метод Рунге-Кутты.
• Для решения систем дифференциальных уравнений используется обобщённый метод Рунге-Кутты.

Литература

• Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики — М.: Наука, 1970.