Классический метод Рунге-Кутты

Классический метод Рунге-Кутты — это численный метод получения решения дифференциального уравнения.

Описание метода

Суть метода Рунге-Кутты в пошаговом вычислении значений решения y = y(x) дифференциального уравнения вида y’ = f(x, y) с начальным условием (x₀; y₀).

Классический метод Рунге-Кутты является методом 4-го порядка точности и называется методом Рунге-Кутты 4-го порядка точности.

Формулы

[math]\displaystyle{ \begin{cases}k_1 = f(x_n,y_n)h \\ k_2 = f\left(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{k_1}{2}\right)h \\ k_3 = f\left(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{k_2}{2}\right)h \\ k_4 = f(x_n+h,y_n+k_3)h \\ \Delta y = \frac{k_1+2k_2+2k_3+k_4}{6} \\ x_{n+1}=x_n+h \\ y_{n+1}=y_n+ \Delta y\end{cases} }[/math]

Правило Рунге

Для оценки точности расчёта решения y (например, необходимо рассчитать решение y с помощью значения для y при шаге h/2) на практике можно применять правило Рунге:

[math]\displaystyle{ \left|y-y_{h/2}\right| \lt \frac{\left|y_h-y_{h/2}\right|}{2^m-1} }[/math], где

y_h — значение решения y при шаге h,

y_h/2 — значение решения y при шаге h/2,

m — порядок точности формулы.

Условие применения правила Рунге строго задаётся следующим неравенством:

[math]\displaystyle{ 2^m\left|\frac{y_h-y_{h/2}}{y_{2h}-y_h}\right| \lt 0,1 }[/math], где

y_h — значение решения y при шаге h,

y_h/2 — значение решения y при шаге h/2,

y_2h — значение решения y при шаге 2h),

m — порядок точности формулы.

Правило Коллатца

При выборе шага h для достижения заданной точности решения дифференциального уравнения вида y’=f(x, y) классическим методом Рунге-Кутты на практике можно применять более простое правило Коллатца:

[math]\displaystyle{ \left|\frac{k_2-k_3}{k_1-k_2}\right| \lt 0,03 }[/math], где

[math]\displaystyle{ k_1=f(x_n,y_n)h, \ k_2=f\left(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{k_1}{2}\right)h, \ k_3=f\left(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{k_2}{2}\right)h }[/math].

Формула Ричардсона

Более точным (по крайней мере на порядок выше, то есть с порядком точности m + 1) значением y (по сравнению со значением y_h/2) является значение y*, вычисленное или экстраполированное по формуле Ричардсона:

[math]\displaystyle{ y^*=\frac{2^my_{h/2}-y_h}{2^m-1} }[/math], где

y_h — значение решения y при шаге h,

y_h/2 — значение решения y при шаге h/2,

m — порядок точности формулы.

Другие методы

• метод Эйлера;
• исправленный метод Эйлера;
• усовершенствованный метод Эйлера;
• метод Адамса третьего порядка;
• метод Рунге-Кутты третьего порядка;
• классический метод Рунге-Кутты.
• Для решения систем дифференциальных уравнений используется обобщённый метод Рунге-Кутты.

Литература

• Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики — М.: Наука, 1970
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970