Формулы для правильного n-гранника

Правильный n-гранник

Правильный n-гранник — один из пяти возможных правильных многогранников, который представляет собой многогранник с гранями из правильных многоугольников.

К правильным n-гранникам относятся: тетраэдр, куб (гексаэдр), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

Обозначения

Г,n — число граней;

В — число вершин;

m — число вершин одной грани;

Р,k — число рёбер;

a — длина ребра;

r — радиус вписанной сферы;

R — радиус описанной сферы;

h — высота внутренней правильной пирамиды (радиус вписанной сферы правильного n−гранника);

α — половинный центральный угол грани, α=π/m;

S_{mугольник} — площадь правильного m-угольника (грани);

S_{nгранник} — площадь поверхности n-гранника;

V_{mпирамид} — объём пирамиды с правильным m-угольником в основании (грань n-гранникиа) и равнобедренными треугольниками в боковых гранях;

V_{nгранник} — объём n-гранника.

Формулы

${\text{Г}}=4,{\text{В}}=4,{\text{Р}}=6$ — тетраэдр;

${\text{Г}}=6,{\text{В}}=8,{\text{Р}}=12$ — куб (гексаэдр);

${\text{Г}}=8,{\text{В}}=6,{\text{Р}}=12$ — октаэдр;

${\text{Г}}=12,{\text{В}}=20,{\text{Р}}=30$ — додекаэдр;

${\text{Г}}=20,{\text{В}}=12,{\text{Р}}=30$ — икосаэдр.

Радиус вписанной сферы

$r={\frac {\sqrt {6}}{12}}a\Leftrightarrow r={\frac {1}{3}}R$ — тетраэдр;

$r={\frac {1}{2}}a\Leftrightarrow r={\frac {\sqrt {3}}{3}}R$ — куб (гексаэдр);

$r={\frac {\sqrt {6}}{6}}a\Leftrightarrow r={\frac {\sqrt {3}}{3}}R$ — октаэдр;

$r={\frac {\sqrt {250+110{\sqrt {5}}}}{20}}a\Leftrightarrow r={\frac {\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}{15}}R$ — додекаэдр;

$r={\frac {3{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}}{12}}a\Leftrightarrow r={\frac {\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}{15}}R$ — икосаэдр.

Радиус описанной сферы

$R={\frac {\sqrt {6}}{4}}a\Leftrightarrow R=3r$ — тетраэдр;

$R={\frac {\sqrt {3}}{2}}a\Leftrightarrow R={\sqrt {3}}r$ — куб (гексаэдр);

$R={\frac {\sqrt {2}}{2}}a\Leftrightarrow R={\sqrt {3}}r$ — октаэдр;

$R={\frac {{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}}{4}}a\Leftrightarrow R={\sqrt {15-6{\sqrt {5}}}}r$ — додекаэдр;

$R={\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}a\Leftrightarrow R={\sqrt {15-6{\sqrt {5}}}}r$ — икосаэдр.

Периметр

$P_{\text{n-гранник}}=ka$, где k=Р — число рёбер n-гранника.

Площадь

$S_{\text{n-гранник}}=nS_{\text{m-угольник}},\ S_{\text{m-угольник}}={\frac {ma^{2}}{4}}ctg{\frac {\pi }{m}}$

Объём

$V_{\text{n-гранник}}=nV_{\text{m-пирамида}},\ V_{\text{m-пирамида}}={\frac {1}{3}}hS_{\text{m-угольник}}$

Другие многогранники

1. тетраэдр;
2. куб;
3. октаэдр;
4. додекаэдр;
5. икосаэдр;
6. правильный n-гранник.