Формулы для правильного тетраэдра

Правильный тетраэдр

Правильный тетраэдр — один из пяти возможных правильных многогранников, который представляет собой четырёхгранник с гранями из правильных треугольников.

Обозначения

a — длина ребра;

h — высота;

r — радиус вписанной сферы;

R — радиус описанной сферы;

S_треуг — площадь правильного треугольника (грани);

S_{тетраэдр} — площадь тетраэдра;

V_пирам — объём пирамиды с правильным треугольником в основании (грань тетраэдра) и равнобедренными треугольниками в боковых гранях;

V_{тетраэдр} — объём тетраэдра.

Формулы

${\text{Г}}=4,{\text{В}}=4,{\text{Р}}=6$

Радиус вписанной сферы

$r={\frac {\sqrt {6}}{12}}a\Leftrightarrow r={\frac {1}{3}}R$

Радиус описанной сферы

$R={\frac {\sqrt {6}}{4}}a\Leftrightarrow R=3r$

Периметр

$P_{\text{тетраэдр}}=6a$

Площадь

$S_{\text{тетраэдр}}={\sqrt {3}}a^{2}\Leftrightarrow S_{\text{тетраэдр}}=4S_{\text{треуг}},\ S_{\text{треуг}}={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}\Leftrightarrow S_{\text{тетраэдр}}={\frac {3V_{\text{тетраэдр}}}{r}}\Leftrightarrow S_{\text{тетраэдр}}={\frac {8{\sqrt {3}}}{3}}R^{2}\Leftrightarrow S_{\text{тетраэдр}}=24{\sqrt {3}}r^{2}$

Объём

$V_{\text{тетраэдр}}={\frac {\sqrt {2}}{12}}a^{3}\Leftrightarrow V_{\text{тетраэдр}}={\frac {1}{3}}S_{\text{тетраэдр}}r\Leftrightarrow V_{\text{тетраэдр}}=8{\sqrt {3}}r^{3}\Leftrightarrow V_{\text{тетраэдр}}={\frac {1}{9}}S_{\text{тетраэдр}}R\Leftrightarrow V_{\text{тетраэдр}}={\frac {8{\sqrt {3}}}{27}}R^{3}$

Другие многогранники

1. тетраэдр;
2. куб;
3. октаэдр;
4. додекаэдр;
5. икосаэдр;
6. правильный n-гранник.