Формулы для додекаэдра

Додекаэдр

Додекаэдр (др.-греч. δωδεκάεδρον, от δώδεκα — «двенадцать» и ἕδρα — «грань») — один из пяти возможных правильных многогранников, который представляет собой двенадцатигранник с гранями из правильных пятиугольников.

Обозначения

a — длина ребра;

r — радиус вписанной сферы;

R — радиус описанной сферы;

S_пятиуг — площадь правильного пятиугольника (грани);

S_{додекаэдр} — площадь поверхности додекаэдра;

V_пирам — объём пирамиды с правильным пятиугольником в основании (грань додекаэдра) и равнобедренными треугольниками в боковых гранях;

V_{додекаэдр} — объём додекаэдра.

Формулы

${\text{Г}}=12,{\text{В}}=20,{\text{Р}}=30$

Радиус вписанной сферы

$r={\frac {1}{4}}{\sqrt {10+{\frac {22}{\sqrt {5}}}}}a\Leftrightarrow r={\frac {\sqrt {250+110{\sqrt {5}}}}{20}}a\Leftrightarrow r={\frac {\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}{15}}R$

Радиус описанной сферы

$R={\frac {{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}}{4}}a\Leftrightarrow R={\frac {(1+{\sqrt {5}}){\sqrt {3}}}{4}}a\Leftrightarrow R={\sqrt {15-6{\sqrt {5}}}}r$

Периметр

$P_{\text{додекаэдр}}=30a$

Площадь

$S_{\text{додекаэдр}}=3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}a^{2}\Leftrightarrow S_{\text{додекаэдр}}=12S_{\text{пятиуг}},\ S_{\text{пятиуг}}={\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{4}}a^{2}\Leftrightarrow S_{\text{додекаэдр}}={\frac {3V_{\text{додекаэдр}}}{r}}\Leftrightarrow S_{\text{додекаэдр}}=2{\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}R^{2}\Leftrightarrow S_{\text{додекаэдр}}=30{\sqrt {130-58{\sqrt {5}}}}r^{2}$

Объём

$V_{\text{додекаэдр}}={\frac {15+7{\sqrt {5}}}{4}}a^{3}\Leftrightarrow V_{\text{додекаэдр}}=12V_{\text{пирам}},\ V_{\text{пирам}}={\frac {15+7{\sqrt {5}}}{48}}a^{2}\Leftrightarrow V_{\text{додекаэдр}}={\frac {1}{3}}S_{\text{додекаэдр}}r\Leftrightarrow V_{\text{додекаэдр}}={\frac {10{\sqrt {3}}+2{\sqrt {15}}}{9}}R^{3}\Leftrightarrow V_{\text{додекаэдр}}=10{\sqrt {130-58{\sqrt {5}}}}r^{3}$

• Заметим, что отношение радиусов вписанной и описанной сфер для додекаэдра и икосаэдра одинаково.

Другие многогранники

1. тетраэдр;
2. куб;
3. октаэдр;
4. додекаэдр;
5. икосаэдр;
6. правильный n-гранник.