Объём додекаэдра

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Додекаэдр

Объём додекаэдра — это число, характеризующее додекаэдр в единицах измерения объёма.

Додекаэдр — это двенадцатигранник с гранями из правильных пятиугольников.

Обозначения[править]

Введём обозначения:

a — длина ребра;

r — радиус вписанной сферы;

R — радиус описанной сферы;

Sдод — площадь поверхности додекаэдра;

Vпирам — объём пирамиды с правильным пятиугольником в основании (грань додекаэдра) и равнобедренными треугольниками в боковых гранях;

Vдод — объём додекаэдра.

Формула[править]

[math]\displaystyle{ V_\text{дод}=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}a^3 \Leftrightarrow V_\text{дод}= 12V_\text{пирам}, \ V_\text{пирам}=\frac{15+7\sqrt{5}}{48}a^2 \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow V_\text{дод}=\frac{1}{3}S_\text{дод}r, \ S_\text{дод}=3\sqrt{25+10\sqrt{5}}a^2, \ r=\frac{\sqrt{250+110\sqrt{5}}}{20}a \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow V_\text{дод}=\frac{10\sqrt{3}+2\sqrt{15}}{9}R^3, \ R=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{4}a \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow V_\text{дод}=10\sqrt{130-58\sqrt{5}}r^3, \ r=\frac{\sqrt{75+30\sqrt{5}}}{15}R }[/math]
  • Заметим, что отношение радиусов вписанной и описанной сфер для додекаэдра и икосаэдра одинаково.

Другие многогранники[править]