Объём додекаэдра

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Додекаэдр

Объём додекаэдра — это число, характеризующее додекаэдр в единицах измерения объёма.

Додекаэдр — это двенадцатигранник с гранями из правильных пятиугольников.

[править] Обозначения

Введём обозначения:

a — длина ребра;

r — радиус вписанной сферы;

R — радиус описанной сферы;

Sдод — площадь поверхности додекаэдра;

Vпирам — объём пирамиды с правильным пятиугольником в основании (грань додекаэдра) и равнобедренными треугольниками в боковых гранях;

Vдод — объём додекаэдра.

[править] Формула

[math]V_\text{дод}=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}a^3 \Leftrightarrow V_\text{дод}= 12V_\text{пирам}, \ V_\text{пирам}=\frac{15+7\sqrt{5}}{48}a^2 \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow V_\text{дод}=\frac{1}{3}S_\text{дод}r, \ S_\text{дод}=3\sqrt{25+10\sqrt{5}}a^2, \ r=\frac{\sqrt{250+110\sqrt{5}}}{20}a \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow V_\text{дод}=\frac{10\sqrt{3}+2\sqrt{15}}{9}R^3, \ R=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{4}a \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow V_\text{дод}=10\sqrt{130-58\sqrt{5}}r^3, \ r=\frac{\sqrt{75+30\sqrt{5}}}{15}R[/math]
  • Заметим, что отношение радиусов вписанной и описанной сфер для додекаэдра и икосаэдра одинаково.

[править] Другие многогранники

Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты