Площадь поверхности додекаэдра

Додекаэдр

Площадь поверхности додекаэдра — это число, характеризующее додекаэдр в единицах измерения площади.

Обозначения

Введём обозначения:

a — длина ребра;

r — радиус вписанной сферы;

R — радиус описанной сферы;

S_пятиуг — площадь правильного пятиугольника (грани);

V_дод — объём додекаэдра;

S_дод — площадь поверхности додекаэдра.

Формула

$S_{\text{дод}}=3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}a^{2}\Leftrightarrow S_{\text{дод}}=12S_{\text{пятиуг}},\ S_{\text{пятиуг}}={\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{4}}a^{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{\text{дод}}={\frac {3V_{\text{дод}}}{r}},\ V_{\text{дод}}={\frac {15+7{\sqrt {5}}}{4}}a^{3},\ r={\frac {\sqrt {250+110{\sqrt {5}}}}{20}}a\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{\text{дод}}=2{\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}R^{2},\ R={\frac {{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}}{4}}a\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{\text{дод}}=30{\sqrt {130-58{\sqrt {5}}}}r^{2},\ r={\frac {\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}{15}}R$

Площадь других многогранников

• призма;
• пирамида;
• усечённая пирамида;
• тетраэдр;
• куб;
• октаэдр;
• додекаэдр;
• икосаэдр;
• правильный n-гранник.