Площадь поверхности икосаэдра

Икосаэдр

Площадь поверхности икосаэдра — это число, характеризующее икосаэдр в единицах измерения площади.

Обозначения

Введём обозначения:

a — длина ребра;

r — радиус вписанной сферы;

R — радиус описанной сферы;

S_треуг — площадь правильного треугольника (грани);

V_икос — объём икосаэдра;

S_икос — площадь поверхности икосаэдра.

Формула

$S_{\text{икос}}=5{\sqrt {3}}a^{2}\Leftrightarrow S_{\text{икос}}=20S_{\text{треуг}},\ S_{\text{треуг}}={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{\text{икос}}={\frac {3V_{\text{икос}}}{r}},\ V_{\text{икос}}={\frac {15+5{\sqrt {5}}}{12}}a^{3},\ r={\frac {3{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}}{12}}a\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{\text{икос}}=\left(10{\sqrt {3}}-2{\sqrt {15}}\right)R^{2},\ R={\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}a\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{\text{икос}}=\left(210{\sqrt {3}}-90{\sqrt {15}}\right)r^{2},\ r={\frac {\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}{15}}R$

Площадь других многогранников

• призма;
• пирамида;
• усечённая пирамида;
• тетраэдр;
• куб;
• октаэдр;
• додекаэдр;
• икосаэдр;
• правильный n-гранник.