Площадь поверхности икосаэдра

Икосаэдр

Площадь поверхности икосаэдра — это число, характеризующее икосаэдр в единицах измерения площади.

Обозначения

Введём обозначения:

a — длина ребра;

r — радиус вписанной сферы;

R — радиус описанной сферы;

S_треуг — площадь правильного треугольника (грани);

V_икос — объём икосаэдра;

S_икос — площадь поверхности икосаэдра.

Формула

[math]\displaystyle{ S_\text{икос}=5\sqrt{3}a^2 \Leftrightarrow S_\text{икос}= 20S_\text{треуг}, \ S_\text{треуг}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_\text{икос}=\frac{3V_\text{икос}}{r}, \ V_\text{икос}=\frac{15+5\sqrt{5}}{12}a^3, \ r=\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{15}}{12}a \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_\text{икос}=\left(10\sqrt{3}-2\sqrt{15}\right)R^2, \ R=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}a \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_\text{икос}=\left(210\sqrt{3}-90\sqrt{15}\right)r^2, \ r=\frac{\sqrt{75+30\sqrt{5}}}{15}R }[/math]

Площадь других многогранников

• Площадь поверхности правильной призмы;
• Площадь поверхности правильной пирамиды;
• Площадь поверхности правильной усечённой пирамиды;
• Площадь поверхности правильного тетраэдра;
• Площадь поверхности куба;
• Площадь поверхности октаэдра;
• Площадь поверхности додекаэдра;
• Площадь поверхности икосаэдра;
• Площадь поверхности правильного многогранника.