Площадь поверхности икосаэдра
Площадь поверхности икосаэдра — это число, характеризующее икосаэдр в единицах измерения площади.
Обозначения[править]
Введём обозначения:
a — длина ребра;
r — радиус вписанной сферы;
R — радиус описанной сферы;
Sтреуг — площадь правильного треугольника (грани);
Vикос — объём икосаэдра;
Sикос — площадь поверхности икосаэдра.
Формула[править]
- [math]\displaystyle{ S_\text{икос}=5\sqrt{3}a^2 \Leftrightarrow S_\text{икос}= 20S_\text{треуг}, \ S_\text{треуг}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_\text{икос}=\frac{3V_\text{икос}}{r}, \ V_\text{икос}=\frac{15+5\sqrt{5}}{12}a^3, \ r=\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{15}}{12}a \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_\text{икос}=\left(10\sqrt{3}-2\sqrt{15}\right)R^2, \ R=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}a \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_\text{икос}=\left(210\sqrt{3}-90\sqrt{15}\right)r^2, \ r=\frac{\sqrt{75+30\sqrt{5}}}{15}R }[/math]
Площадь других многогранников[править]
- Площадь поверхности правильной призмы;
- Площадь поверхности правильной пирамиды;
- Площадь поверхности правильной усечённой пирамиды;
- Площадь поверхности правильного тетраэдра;
- Площадь поверхности куба;
- Площадь поверхности октаэдра;
- Площадь поверхности додекаэдра;
- Площадь поверхности икосаэдра;
- Площадь поверхности правильного многогранника.