Объём икосаэдра

Икосаэдр

Объём икосаэдра — это число, характеризующее икосаэдр в единицах измерения объёма.

Икосаэдр — это двадцатигранник с гранями из правильных треугольников.

Обозначения

Введём обозначения:

a — длина ребра;

r — радиус вписанной сферы;

R — радиус описанной сферы;

S_икос — площадь поверхности икосаэдра;

V_тетр — объём тетраэдра с правильным треугольником в основании (грань икосаэдра) и равнобедренными треугольниками в боковых гранях;

V_икос — объём икосаэдра.

Формула

[math]\displaystyle{ V_\text{икос}=\frac{15+5\sqrt{5}}{12}a^3 \Leftrightarrow V_\text{икос}= 20V_\text{тетр}, \ V_\text{тетр}=\frac{3+\sqrt{5}}{48}a^3 \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow V_\text{икос}=\frac{1}{3}S_\text{икос}r, \ S_\text{икос}=5\sqrt{3}a^2, \ r=\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{15}}{12}a \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow V_\text{икос}=\frac{2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{3}R^3, \ R=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}a \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow V_\text{икос}=\left(70\sqrt{3}-30\sqrt{15}\right)r^3, \ r=\frac{\sqrt{75+30\sqrt{5}}}{15}R }[/math]

• Заметим, что отношение радиусов вписанной и описанной сфер для додекаэдра и икосаэдра одинаково.

Другие многогранники

• Объём правильной призмы;
• Объём правильной пирамиды;
• Объём правильной усечённой пирамиды;
• Объём правильного тетраэдра;
• Объём куба;
• Объём октаэдра;
• Объём додекаэдра;
• Объём икосаэдра;
• Объём правильного n-гранника.