Объём икосаэдра

Икосаэдр

Объём икосаэдра — это число, характеризующее икосаэдр в единицах измерения объёма.

Икосаэдр — это двадцатигранник с гранями из правильных треугольников.

Обозначения

Введём обозначения:

a — длина ребра;

r — радиус вписанной сферы;

R — радиус описанной сферы;

S_икос — площадь поверхности икосаэдра;

V_тетр — объём тетраэдра с правильным треугольником в основании (грань икосаэдра) и равнобедренными треугольниками в боковых гранях;

V_икос — объём икосаэдра.

Формула

$V_{\text{икос}}={\frac {15+5{\sqrt {5}}}{12}}a^{3}\Leftrightarrow V_{\text{икос}}=20V_{\text{тетр}},\ V_{\text{тетр}}={\frac {3+{\sqrt {5}}}{48}}a^{3}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow V_{\text{икос}}={\frac {1}{3}}S_{\text{икос}}r,\ S_{\text{икос}}=5{\sqrt {3}}a^{2},\ r={\frac {3{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}}{12}}a\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow V_{\text{икос}}={\frac {2{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{3}}R^{3},\ R={\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}a\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow V_{\text{икос}}=\left(70{\sqrt {3}}-30{\sqrt {15}}\right)r^{3},\ r={\frac {\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}{15}}R$

• Заметим, что отношение радиусов вписанной и описанной сфер для додекаэдра и икосаэдра одинаково.

Другие многогранники

• призма;
• пирамида;
• усечённая пирамида;
• тетраэдр;
• куб;
• октаэдр;
• додекаэдр;
• икосаэдр;
• правильный n-гранник.