Объём икосаэдра
Объём икосаэдра — это число, характеризующее икосаэдр в единицах измерения объёма.
Икосаэдр — это двадцатигранник с гранями из правильных треугольников.
Обозначения[править]
Введём обозначения:
a — длина ребра;
r — радиус вписанной сферы;
R — радиус описанной сферы;
Sикос — площадь поверхности икосаэдра;
Vтетр — объём тетраэдра с правильным треугольником в основании (грань икосаэдра) и равнобедренными треугольниками в боковых гранях;
Vикос — объём икосаэдра.
Формула[править]
- [math]\displaystyle{ V_\text{икос}=\frac{15+5\sqrt{5}}{12}a^3 \Leftrightarrow V_\text{икос}= 20V_\text{тетр}, \ V_\text{тетр}=\frac{3+\sqrt{5}}{48}a^3 \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow V_\text{икос}=\frac{1}{3}S_\text{икос}r, \ S_\text{икос}=5\sqrt{3}a^2, \ r=\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{15}}{12}a \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow V_\text{икос}=\frac{2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{3}R^3, \ R=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}a \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow V_\text{икос}=\left(70\sqrt{3}-30\sqrt{15}\right)r^3, \ r=\frac{\sqrt{75+30\sqrt{5}}}{15}R }[/math]
- Заметим, что отношение радиусов вписанной и описанной сфер для додекаэдра и икосаэдра одинаково.