Объём икосаэдра

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Икосаэдр

Объём икосаэдра — это число, характеризующее икосаэдр в единицах измерения объёма.

Икосаэдр — это двадцатигранник с гранями из правильных треугольников.

Обозначения[править]

Введём обозначения:

a — длина ребра;

r — радиус вписанной сферы;

R — радиус описанной сферы;

Sикос — площадь поверхности икосаэдра;

Vтетр — объём тетраэдра с правильным треугольником в основании (грань икосаэдра) и равнобедренными треугольниками в боковых гранях;

Vикос — объём икосаэдра.

Формула[править]

[math]\displaystyle{ V_\text{икос}=\frac{15+5\sqrt{5}}{12}a^3 \Leftrightarrow V_\text{икос}= 20V_\text{тетр}, \ V_\text{тетр}=\frac{3+\sqrt{5}}{48}a^3 \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow V_\text{икос}=\frac{1}{3}S_\text{икос}r, \ S_\text{икос}=5\sqrt{3}a^2, \ r=\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{15}}{12}a \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow V_\text{икос}=\frac{2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{3}R^3, \ R=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}a \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow V_\text{икос}=\left(70\sqrt{3}-30\sqrt{15}\right)r^3, \ r=\frac{\sqrt{75+30\sqrt{5}}}{15}R }[/math]
  • Заметим, что отношение радиусов вписанной и описанной сфер для додекаэдра и икосаэдра одинаково.

Другие многогранники[править]