Объём октаэдра

Октаэдр

Объём октаэдра — это число, характеризующее октаэдр в единицах измерения объёма.

Октаэдр — это восьмигранник с гранями из правильных треугольников.

Обозначения

Введём обозначения:

a — длина ребра;

h — высота или диагональ;

r — радиус вписанной сферы;

R — радиус описанной сферы;

S_сеч — площадь квадратного сечения;

S_окт — площадь поверхности октаэдра;

V_окт — объём октаэдра.

Формула

$V_{\text{окт}}={\frac {\sqrt {2}}{3}}a^{3}\Leftrightarrow V_{\text{куб}}={\frac {1}{3}}S_{\text{сеч}}h,\ S_{\text{сеч}}=a^{2},\ h={\sqrt {2}}a\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow V_{\text{окт}}={\frac {1}{3}}S_{\text{окт}}r,\ S_{\text{куб}}=2{\sqrt {3}}a^{2},\ r={\frac {\sqrt {6}}{6}}a\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow V_{\text{куб}}={\frac {4}{3}}R^{3},\ R={\frac {\sqrt {2}}{2}}a\Leftrightarrow V_{\text{куб}}=4{\sqrt {3}}r^{3},\ r={\frac {\sqrt {3}}{3}}R$

Другие многогранники

• призма;
• пирамида;
• усечённая пирамида;
• тетраэдр;
• куб;
• октаэдр;
• додекаэдр;
• икосаэдр;
• правильный n-гранник.