Объём правильного n-гранника

Объём правильного n-гранника — это число, характеризующее многогранник в единицах измерения объёма.

Правильный n-гранник — это многогранник у которого n равных граней правильных m-угольников.

Рассмотрим только выпуклые правильные многогранники.

Обозначения

Введём обозначения:

n — число граней;

m — число вершин у одной грани;

a — ребро (длина стороны);

α — половинный центральный угол грани, α = π/m;

r — радиус описанной окружности грани;

h — высота внутренней правильной пирамиды (радиус вписанной сферы правильного n−гранника);

R — радиус описанной сферы;

S_m — площадь правильного m−угольника (грани);

V_пир.m — объём правильной пирамиды (m + 1)−гранника.

V_n — объём правильного n−гранника.

Формулы

$V_{n}=nV_{{\text{пир.}}m},\ V_{{\text{пир.}}m}={\frac {1}{3}}hS_{m},\ h={\sqrt {R^{2}-r^{2}}},\ r={\frac {a}{2}}csc{\frac {\pi }{m}},\ S_{m}={\frac {ma^{2}}{4}}ctg{\frac {\pi }{m}}$

См. также

• Площадь поверхности правильного многогранника

Другие многогранники

• призма;
• пирамида;
• усечённая пирамида;
• тетраэдр;
• куб;
• октаэдр;
• додекаэдр;
• икосаэдр;
• правильный n-гранник.

Другие формулы

• трёхмерная фигура;
• эллипсоид;
• эллиптический цилиндр;
• эллиптический конус;
• эллиптический параболоид;
• фигура вращения.