Объём правильного n-гранника

Объём правильного n-гранника — это число, характеризующее многогранник в единицах измерения объёма.

Правильный n-гранник — это многогранник у которого n равных граней правильных m-угольников.

Рассмотрим только выпуклые правильные многогранники.

Обозначения

Введём обозначения:

n — число граней;

m — число вершин у одной грани;

a — ребро (длина стороны);

α — половинный центральный угол грани, α = π/m;

r — радиус описанной окружности грани;

h — высота внутренней правильной пирамиды (радиус вписанной сферы правильного n−гранника);

R — радиус описанной сферы;

S_m — площадь правильного m−угольника (грани);

V_пир.m — объём правильной пирамиды (m + 1)−гранника.

V_n — объём правильного n−гранника.

Формулы

[math]\displaystyle{ V_n=nV_{\text{пир.}m}, \ V_{\text{пир.}m}=\frac{1}{3}hS_m, \ h=\sqrt{R^2-r^2}, \ r=\frac{a}{2}csc\frac{\pi}{m}, \ S_m=\frac{ma^2}{4}ctg\frac{\pi}{m} }[/math]

См. также

• Площадь поверхности правильного многогранника

Другие многогранники

• Объём правильной призмы;
• Объём правильной пирамиды;
• Объём правильной усечённой пирамиды;
• Объём правильного тетраэдра;
• Объём куба;
• Объём октаэдра;
• Объём додекаэдра;
• Объём икосаэдра;
• Объём правильного n-гранника.

Другие формулы

• объём многогранника;
• объём правильного многогранника;
• объём трёхмерной фигуры;
• объём фигуры вращения.