Площадь поверхности додекаэдра
Площадь поверхности додекаэдра — это число, характеризующее додекаэдр в единицах измерения площади.
Обозначения[править]
Введём обозначения:
a — длина ребра;
r — радиус вписанной сферы;
R — радиус описанной сферы;
Sпятиуг — площадь правильного пятиугольника (грани);
Vдод — объём додекаэдра;
Sдод — площадь поверхности додекаэдра.
Формула[править]
- [math]\displaystyle{ S_\text{дод}=3\sqrt{25+10\sqrt{5}}a^2 \Leftrightarrow S_\text{дод}= 12S_\text{пятиуг}, \ S_\text{пятиуг}=\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{4}a^2 \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_\text{дод}=\frac{3V_\text{дод}}{r}, \ V_\text{дод}=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}a^3, \ r=\frac{\sqrt{250+110\sqrt{5}}}{20}a \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_\text{дод}=2\sqrt{50-10\sqrt{5}}R^2, \ R=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{4}a \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_\text{дод}=30\sqrt{130-58\sqrt{5}}r^2, \ r=\frac{\sqrt{75+30\sqrt{5}}}{15}R }[/math]
Площадь других многогранников[править]
- Площадь поверхности правильной призмы;
- Площадь поверхности правильной пирамиды;
- Площадь поверхности правильной усечённой пирамиды;
- Площадь поверхности правильного тетраэдра;
- Площадь поверхности куба;
- Площадь поверхности октаэдра;
- Площадь поверхности додекаэдра;
- Площадь поверхности икосаэдра;
- Площадь поверхности правильного многогранника.