Площадь поверхности додекаэдра

Додекаэдр

Площадь поверхности додекаэдра — это число, характеризующее додекаэдр в единицах измерения площади.

Обозначения

Введём обозначения:

a — длина ребра;

r — радиус вписанной сферы;

R — радиус описанной сферы;

S_пятиуг — площадь правильного пятиугольника (грани);

V_дод — объём додекаэдра;

S_дод — площадь поверхности додекаэдра.

Формула

[math]\displaystyle{ S_\text{дод}=3\sqrt{25+10\sqrt{5}}a^2 \Leftrightarrow S_\text{дод}= 12S_\text{пятиуг}, \ S_\text{пятиуг}=\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{4}a^2 \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_\text{дод}=\frac{3V_\text{дод}}{r}, \ V_\text{дод}=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}a^3, \ r=\frac{\sqrt{250+110\sqrt{5}}}{20}a \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_\text{дод}=2\sqrt{50-10\sqrt{5}}R^2, \ R=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{4}a \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_\text{дод}=30\sqrt{130-58\sqrt{5}}r^2, \ r=\frac{\sqrt{75+30\sqrt{5}}}{15}R }[/math]

Площадь других многогранников

• Площадь поверхности правильной призмы;
• Площадь поверхности правильной пирамиды;
• Площадь поверхности правильной усечённой пирамиды;
• Площадь поверхности правильного тетраэдра;
• Площадь поверхности куба;
• Площадь поверхности октаэдра;
• Площадь поверхности додекаэдра;
• Площадь поверхности икосаэдра;
• Площадь поверхности правильного многогранника.