Элементы математической логики
Элементы математической логики
Элементы математической логики — сочинение П. С. Новикова.
Является первым учебным пособием по математической логике. Этот курс был прочитан в МГУ им. М. В. Ломоносова на механико-математическом факультете.
Краткая характеристика[править]
Современное развитие математической логики П. С. Новиков связывает с эволюцией аксиоматического метода, который нашёл широкое распространение в математике. В этой эволюции автор выделяет периоды: от трудов Н. И. Лобачевского до работ Д. Гильберта по основаниям математики — первый и от этих работ до наших дней — второй. Второй период в развитии аксиоматического метода П. С. Новиков характеризует как соединение идей, идущих из геометрии, с развивающимся параллельно учением, известным под названием «символической», или «математической» логики. В результате возникла новая дисциплина которая сохранила название «математической логики». Прежде чем изложить основы математической логики, П. С. Новиков рассматривает вкратце предшествующее ей состояние аксиоматического метода, причины возникновения его и стоящие перед ним задачи. Сущность аксиоматического метода, согласно П. С. Новикову, состоит в своеобразном способе определения математических объектов и отношений между ними. Так, изучая систему каких-то объектов, исследователь употребляет определённые термины, выражающие свойства этих объектов. При этом он не определяет ни самих объектов, ни этих свойств и отношений, но высказывает ряд определённых утверждений, которые должны для них выполняться. Эти утверждения, посредством которых выделяется совокупность объектов, носят названия аксиом.
«Если для какой — либо совокупности объектов, их свойств и отношений некоторые аксиомы истины, то говорят, что данная совокупность объектов удовлетворяет системе этих отношений, или пишет П. С. Новиков, является итерпретацией данной системы аксиом. Следом мы имеем возможность: делая логические выводы из аксиом, получать утверждения, которые справедливы для любой системы объектов, удовлетворяющей данным аксиомам». При этом автор обращает внимание на то, что соответствие между аксиомами и предметами реальности имеет всегда только приближённый характер. При возникновении вопроса — удовлетворяют ли реальные объекты аксиомам, «тогда, подчёркивает П. С. Новиков, предварительно необходимо дать физическое определение терминов, содержащихся в аксиомах, то есть указать те физические обстоятельства, которые этим терминам соответствуют. Когда такая процедура проделана, аксиомы превращаются в физические утверждения, которые можно подвергнуть экспериментальной проверке. Только после этого можно говорить об истинности утверждений с той степенью точности, какую обеспечивают измерительные приборы».
Содержание[править]
Книга П. С. Новикова «Элементы математической логики» содержит шесть глав. В первой главе автор изложил алгебру логики, где высказывания рассматриваются как предложения, которые удовлетворяют закону исключённого третьего и закону противоречия. Вторая глава, называется «Исчисление высказываний», где алгебра логики представлена в виде аксиоматической системы. В третьей главе рассматривается логика предикатов, которая представлена как развитие алгебры высказываний с её операциями и формулами, а также высказываниями, отнесёнными к предметам. Здесь уже происходит расчленение высказываний на субъект и предикат, даётся определение кванторов общности и существования. В четвёртой главе логика предикатов изложена в виде аксиоматического исчисления. В пятой главе изложена аксиоматическая арифметика. Шестая глава посвящена рассмотрению методов теории доказательства, посредством которых могут быть решены некоторые вопросы математической логики, представленные в первых пяти главах.
Литература[править]
- Новиков П. С. Элементы математической логики. М., 1959