Волновой пучок

Волново́й пучо́к — совокупность бегущих волн, распространяющаяся в пространстве в пределах некоторого телесного угла и создающая в нём волновое поле.

Физические основы

В волновой оптике считается, что в результате дифракции света происходит уширение любого светового пучка в результате дифракционной расходимости, возникающей на краях ограничивающих диафрагм или отверстий, величина которой пропорциональна длине волны света $\lambda$ и обратно пропорциональна радиусу диафрагмы (отверстия) $r_{0}$.

Волновые пучки представляются в виде набора плоских волн, волновые векторы которых составляют небольшие углы с направлением распространения этих пучков. Геометрическая ось таких пучков представляет прямую линию в оптически однородных средах или кривую в средах, однородность которых изменяется по нелинейному закону. При этом математически описать создаваемое такой совокупностью плоских волн волновое поле можно в приближении квазиоптики, согласно которому поперечные размеры волновых пучков $d$ много больше длины волны волн $\lambda$, составляющих эти пучки, что позволяет перейти от описания на языке волновых уравнений напряжённостей электромагнитного поля к приближённому параболическому уравнению для их комплексной амплитуды:

${\frac {\partial A}{\partial z}}=-{\frac {i\lambda }{4\pi }}{\Biggl (}{\frac {\partial ^{2}A}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A}{\partial y^{2}}}{\Biggl )}$,

где $A$ — амплитуда волнового пучка, распространяющегося вдоль оси $z$.

Решения данного параболического уравнения лежат между приближениями геометрической оптики, в которой не учитывается дифракция света, и волновой оптики, где приближение квазиоптики $d\gg \lambda$ отсутствует.

Модельное описание волновых пучков проводится в параксиальном приближении, при котором рассматриваются волновые пучки, распространяющиеся в центрированных оптических системах и образующих с оптическими осями этих систем очень малые углы с ней и нормалями к отражающим и преломляющим поверхностям оптических тел, входящих в данные оптические системы.

Всем признакам модельного описания удовлетворяют гауссовские пучки, представляющие собой класс решений параболического уравнения для комплексной амплитуды.

В векторном виде плоскополяризованные волновые пучки можно описать как:

$E_{x}=F_{x}(x,y,l)$,

$E_{y}=0$,

$E_{l}={\frac {1}{ik}}{\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}$,

из чего для гауссовых пучков имеем:

$E_{x}(x,y,0)=exp{\Biggl (}-{\frac {x^{2}+y^{2}}{\sigma ^{2}}}{\Biggl )}\exp ^{(-iwt+ikz)}$,

$E_{y}(x,y,0)=0$,

$E_{z}(x,y,0)=-{\frac {2ix}{k\sigma ^{2}}}\exp ^{{\Biggl (}-{\frac {x^{2}+y^{2}}{\sigma ^{2}}}{\Biggl )}}e^{-iwt+ikz}$,

где $\sigma$ — полуширина гауссовского пучка.

Интенсивность гауссовского пучка подчиняется формуле Гаусса (поэтому и пучки носят название гауссовских):

$I(r)=\mid U(r)\mid ^{2}$,

что можно представить для координат $x$, $y$, $z$ как:

$I(x,y,z)=I_{0}{\Biggl (}{\frac {W_{0}}{W(z)}}{\Biggl )}^{2}exp{\Biggl (}-{\frac {2(x^{2}+y^{2})}{W^{2}(z)}}{\Biggl )}$,

где $I_{0}=\mid A_{0}\mid ^{2}$,

из чего следует, что интенсивность по оси гауссовского пучка составляет:

$I(0,0,z)=I_{0}{\Biggl (}{\frac {W_{0}}{W(z)}}{\Biggl )}^{2}={\frac {I_{0}}{1+{\Biggl (}{\frac {z}{z_{0}}}{\Biggl )}^{2}}}$.

Мощность гауссовского пучка представима как интеграл от интенсивности по амплитуде в пределах всей поперечной плоскости:

$P=\int \limits _{A_{T}}^{}I(x,y,z)dA_{T}$,

или

$P={\frac {1}{2}}I_{0}\pi W_{0}^{2}$.

Для гауссовского пучка в круге диаметром $W(z)$ сосредоточено 86 % мощности светового излучения пучка.

При выполнении условий $z\ll z_{0}$ гауссовский пучок представляет собой плоскую волну, а при $z\gg z_{0}$ — сферическую.

Понятие волновой пучок используется в волновой оптике, квазиоптике, электродинамике, физической оптике и геометрической оптике с учётом всех ограничений, вводимых в этих областях физики.

Литература

• Апенко М. И., Дубовик А. С. Прикладная оптика. — Москва : Наука, 1982.
• Бутиков Е. И. Оптика : учебное пособие для вузов. — СПб. : БХВ-Петербург : Невский ДиалектЪ, 2003.
• Заказнов Н. П., Кирюшин С. И., Кузичев В. И. Теория оптических систем : учебное пособие для студентов вузов. — СПб., : Лань, 2008.
• Запрягаева Л. А. Прикладная оптика. Ч. 1. Введение в теорию оптических систем. — Москва : Московский институт инженеров геодезии, аэрофотосъёмки и картографии, 2017.
• Ландсберг Г. С. Оптика : учебное пособие для вузов. — Москва : Физматлит, 2003.
• Михеенко А. В. Геометрическая оптика : учебное пособие. — Хабаровск : Издательство Тихоокеанского государственного университета, 2018.
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. 4. Оптика. — Москва : Физматлит, 2014.
• Каневский И. Н. Фокусировка звуковых и ультразвуковых волн. — Москва : Наука, 1977.

Ссылки

• Волновые пучки в свободном пространстве
• Страница ИРЭ НАНУ

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Волновой пучок», расположенная по адресу: — «https://ru.ruwiki.ru/wiki/Волновой_пучок» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».