Гипотеза о равенстве средних при неизвестной дисперсии

Гипотеза о равенстве средних при неизвестной дисперсии — гипотеза о том, что при неизвестных равных дисперсиях, средние двух совокупностей равны.

Для нормально распределённой случайной величины использует статистику, имеющую t-распределение Стьюдента.

Обозначения

n_x — число значений в выборке X;

n_y — число значений в выборке Y;

n — число значений n=n_x+n_y-1;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar x_\text{Г}} — средняя генеральной совокупности X;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar y_\text{Г}} — средняя генеральной совокупности Y;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar x_\text{В} = \bar x} — средняя в выборке X, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar x = \frac{1}{n_x} \sum\limits_{i=1}^{n_x}{x_i}} ;

${\bar {y}}_{\text{В}}={\bar {y}}$ — средняя в выборке Y, ${\bar {y}}={\frac {1}{n_{y}}}\sum \limits _{i=1}^{n_{y}}{y_{i}}$;

σ_x=σ_y — среднеквадратическое отклонение генеральных совокупностей;

s_x — среднеквадратическое отклонение в выборке X, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s_x = \sqrt{\frac{1}{n_x} \sum\limits_{i=1}^{n_x}(x_i- \bar x)^2}} ;

s_y — среднеквадратическое отклонение в выборке Y, $s_{y}={\sqrt {{\frac {1}{n_{y}}}\sum \limits _{i=1}^{n_{y}}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}}$;

α — уровень значимости — вероятность ошибки 1-го рода;

γ=1-α — коэффициент доверия;

t — переменная распределения Стьюдента;

k — число степеней свободы, k=n-1=n_x+n_y-2;

F_Ст(t,k) — интегральная функция распределения Стьюдента.

t_табл=F_Ст^-1(1-α_табл/2,k) — табличное значение для t;

F_{Ст_табл}(α_табл,k)=P(|t|>t_{1-αтабл,k}) — табличное значение F_{Ст_табл}.

Гипотезы о средних

— статистика, имеющая распределение Стьюдента.

Пример 1

$H_{0}:{\bar {x}}_{\text{Г}}={\bar {y}}_{\text{Г}};$

$H_{1}:{\bar {x}}_{\text{Г}}{\text{ ≠ }}{\bar {y}}_{\text{Г}};$

— критерий отклонения гипотезы H₀.

Пример 2

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle H_0: \bar x_\text{Г} = \bar y_\text{Г} ;}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle H_1: \bar x_\text{Г} > \bar y_\text{Г} ;}

— критерий отклонения гипотезы H₀.

• Заметим, что t_1-α,n-1=-t_α,n-1.

Пример 3

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle H_0: \bar x_\text{Г} = \bar y_\text{Г} ;}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle H_1: \bar x_\text{Г} < \bar y_\text{Г} ;}

— критерий отклонения гипотезы H₀.

• Заметим, что t_α,n-1=-t_1-α,n-1.

Другие гипотезы:

1. Гипотеза о средней равной числу при известной дисперсии;
2. Гипотеза о средней равной числу при неизвестной дисперсии;
3. Гипотеза о дисперсии равной числу при известной средней;
4. Гипотеза о дисперсии равной числу при неизвестной средней;
5. Гипотеза о равенстве дисперсий;
6. Гипотеза о равенстве межгрупповой и внутригрупповой дисперсий;
7. Гипотеза о равенстве нескольких дисперсий;
8. Гипотеза о равенстве средних при известной дисперсии;
9. Гипотеза о равенстве средних при неизвестной дисперсии;
10. Гипотеза о равенстве средних при неизвестных дисперсиях;
11. Гипотеза о вероятности равной числу;
12. Гипотеза о равенстве вероятностей;
13. Гипотеза о нормальном законе распределения;
14. Гипотеза об отсутствии линейной корреляционной связи;
15. Гипотеза о коэффициенте линейного уравнения регрессии равном нулю;
16. Гипотеза о коэффициенте линейного уравнения множественной регрессии равном нулю;
17. Гипотеза о значимости линейного уравнения регрессии;
18. Гипотеза о значимости линейного уравнения множественной регрессии;
19. Гипотеза о коэффициенте корреляции равном числу;
20. Гипотеза о коэффициенте корреляции равном нулю;
21. Гипотеза о равенстве коэффициентов корреляции.

Ссылки

• https://mse.msu.ru/wp-content/uploads/2020/03/Лекция-7-Две-выборки-дополнительный-материал.pdf?ysclid=lw95m4ujxc524332566
• Участник:Logic-samara