Магнитная индукция

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Магнитная индукция
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec B}
Размерность

MT−2I−1

Единицы измерения
СИ

Тл

СГС

Гс

Примечания

Векторная величина

Магни́тная инду́кция — векторная физическая величина, являющаяся силовой характеристикой магнитного поля, а именно характеристикой его действия на движущиеся заряженные частицы и на обладающие магнитным моментом тела.

Выступает основной, фундаментальной характеристикой магнитного поля, аналогичной вектору напряжённости электрического поля.

Стандартное обозначение: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec B} .

Единицы измерения:
в СИ — тесла (Тл),
в СГС — гаусс (Гс) (соотношение размерностей: 1 Тл = 104 Гс).

Величина магнитной индукции фигурирует в ряде важнейших формул электродинамики, включая уравнения Максвелла[1].

Физический смысл[править]

Файл:Right-hand-rule-charges-both-hands.svg
Правила для магнитных сил, действующих на отрицательно (слева) и положительно заряженные частицы (справа).

Магнитная индукция Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec B} характеризуется тем, что сила Лоренца Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec F} , действующая со стороны магнитного поля на заряд Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q^*} , движущийся со скоростью Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec v} , равна

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec F = q^* \left[ \vec v \times \vec B \right]}
(по величине Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F = q^* v B \sin\alpha} ).

В приведённой формуле символом (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \times} ) обозначено векторное произведение, α — угол между векторами скорости и магнитной индукции (вектор Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec F} перпендикулярен им обоим и направлен по правилу левой руки для отрицательно заряженных частиц и правилу правой руки для частиц с положительным зарядом)[сп. 1][2].

Также магнитная индукция может быть определена как отношение максимального механического момента сил, действующих на рамку с током, помещённую в предполагаемое однородным (на расстояниях порядка размера рамки) магнитное поле, к произведению силы тока Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I^*} в рамке на её площадь[сп. 2]. Момент сил зависит от ориентации рамки и достигает максимального значения при каких-то определённых углах. Звёздочка у символа указывает на то, что заряд или ток являются «пробными[сп. 3]», то есть используемыми именно для регистрации поля, в отличие от тех же величин без звёздочки.

Магнитная индукция выступает основной, фундаментальной характеристикой магнитного поля, аналогичной вектору напряжённости электрического поля Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{E}} .

Способы расчёта[править]

Общий случай[править]

В общем случае расчёт магнитной индукции проводится посредством решения системы уравнений Максвелла совместно с расчётом электрической составляющей электромагнитного поля:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{div}\,(\varepsilon\vec E) = \frac{\rho}{\varepsilon_0},\ \ \ \mathrm{rot}\,\vec E = - \frac{\partial \vec B}{\partial t}, }
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{div}\,\vec B = 0,\ \ \ \ \, \mathrm{rot}\,\frac{\vec B}{\mu} = \mu_0\vec j + \frac{\varepsilon}{c^2}\frac{\partial \vec E}{\partial t} } ,

где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu_0} — магнитная постоянная, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu} — магнитная проницаемость, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varepsilon} — диэлектрическая проницаемость, а Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c} — скорость света в вакууме. Через Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho} обозначена плотность заряда (Кл/м3) и через Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{j}} плотность тока (А/м2).

Магнитостатика[править]

Файл:Magnetic field produced by current.svg
Магнитное поле вокруг проводника с током
Файл:Solenoid&fluxOfB.svg
Магнитное поле соленоида
Файл:VFPt magnets BH.svg
Магнитное поле постоянного магнита

В магнитостатическом пределе[сп. 4] расчёт магнитного поля может быть выполнен с использованием формулы Био—Савара—Лапласа. Вид этой формулы несколько различен для ситуаций, когда поле создаётся текущим по проводу Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L_1} током Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I} или когда оно создаётся объёмным распределением тока:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec B \left( \vec r \right) = {\mu_0 \over 4\pi}\int\limits_{L_1} \frac{ I \left( \vec r_1 \right)d \vec{l}_1 \times \left( \vec r - \vec r_1 \right)}{\left| \vec r - \vec r_1 \right|^3},\qquad \vec B \left( \vec r \right) = {\mu_0 \over 4\pi}\int \frac{ \vec{j} \left( \vec r_1 \right) dV_1 \times \left( \vec r - \vec r_1 \right)}{ \left| \vec r - \vec r_1 \right|^3}} .

В магнитостатике эта формула играет ту же роль, что и закон Кулона в электростатике. Формула позволяет вычислить магнитную индукцию в вакууме. Для случая магнитной среды необходимо использовать уравнения Максвелла (без слагаемых с производными по времени)[3].

Если заранее очевидна геометрия поля, применима теорема Ампера о циркуляции магнитного поля[сп. 5] (эта запись является интегральной формой уравнения Максвелла для Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{rot}\,\vec B} в вакууме):

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \oint\limits_{L} \vec B\cdot d\vec{l} = \mu_0\int\limits_S \vec j \cdot d\vec{S}} .

Здесь Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S} — произвольная поверхность, «натянутая» на выбранный замкнутый контур Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L} .

Простые примеры

Вектор магнитной индукции прямого провода с током Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I} на расстоянии Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a} от него составляет

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{B} = \frac{\mu_0\mu I}{2\pi a}\cdot\vec{e}_{\varphi} } ,

где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{e}_{\varphi}} — единичный вектор вдоль окружности, по оси симметрии которой проложен провод. Предполагается, что среда однородна.

Вектор магнитной индукции прямого внутри соленоида с током Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I} и числом витков на единицу длины Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} равен

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{B} = \mu_0\mu nI\cdot\vec{e}_z} ,

где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{e}_{z}} — единичный вектор вдоль оси соленоида. Здесь также предполагается однородность магнетика, которым заполнен соленоид.

Связь с напряжённостью[править]

Магнитная индукция и напряжённость магнитного поля связаны через соотношение

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{B} = \mu_0\mu\vec{H}} ,

где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu} — магнитная проницаемость среды (в общем случае это тензорная величина, но в большинстве реальных случаев её можно считать скаляром, то есть просто константой конкретного материала).

Основные уравнения[править]

Поскольку вектор магнитной индукции является одной из основных фундаментальных физических величин в теории электромагнетизма, он входит в большое число уравнений, иногда непосредственно, иногда через связанную с ним напряжённость магнитного поля. По сути, единственная область в классической теории электромагнетизма, где он отсутствует, — это электростатика.

Некоторые из уравнений:

  • Три из выписанных выше четырех уравнений Максвелла (основных уравнений электродинамики)[4]. Их физическое содержание:
    1. уравнение для Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{div}\,\vec B} — закон отсутствия монополя,
    2. для Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{rot}\,\vec E} — закон электромагнитной индукции Фарадея,
    3. для Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{rot}\,\vec B} — закон Ампера — Максвелла.
  • Формула силы Лоренца при наличии и магнитного (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{B}} ), и электрического (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{E}} ) поля:
    Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec F = q^* \vec E + q^* \left[ \vec v \times \vec B \right]} .
  • Выражение для силы Ампера, действующей со стороны магнитного поля на ток (участок провода с током)[сп. 6]:
    Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d \vec F = \left[ I^* \vec{dl} \times \vec B \right] } или Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d \vec F = \left[ \vec j^* dV \times \vec B \right]} .
Файл:Magnetic field due to dipole moment.svg
Магнитный диполь, состоящий из двух магнитных зарядов (монополей).
Файл:Magnetic dipole in uniform magnetic field.jpg
Ориентация магнитного диполя во внешнем магнитном поле.
  • Выражение для момента силы, действующего со стороны магнитного поля на магнитный диполь Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m^*} (виток с током, катушку или постоянный магнит):
    Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec M = \vec m^* \times \vec B} .
  • Выражение для потенциальной энергии магнитного диполя в магнитном поле:
    Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U = - \vec m^* \cdot \vec B} ,
из которого следуют выражения для силы, действующей на магнитный диполь в неоднородном магнитном поле,
  • Выражение для силы, действующей со стороны магнитного поля на точечный магнитный заряд[сп. 7]:
    Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec F = K \frac{q_m^* \vec r}{r^3}.}
(это выражение, точно соответствующее обычному закону Кулона, широко используется для формальных вычислений, для которых ценна его простота, несмотря на то, что реальных магнитных зарядов в природе не обнаружено. Оно также может прямо применяться к вычислению силы, действующей со стороны магнитного поля на полюс длинного тонкого магнита или соленоида).
  • Выражение для плотности энергии магнитного поля
    Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle w = \frac{B^2}{2 \mu_0\mu}} .
Оно входит (вместе с энергией электрического поля) и в выражение для энергии электромагнитного поля, и в лагранжиан электромагнитного поля, и в его действие. Последнее же с современной точки зрения является фундаментальной основой электродинамики (как классической, так в принципе и квантовой).

Типичные значения[править]

характерные значения магнитной индукции
объект Тл объект Тл
межзвёздное пространство 10-10 небольшой магнит (Nd-Fe-B) 0,2
магнитное поле Земли 5 • 10-5 большой электромагнит 1,5
1 см от провода с током 100 А 2 • 10-3 сильный лабораторный магнит 10
небольшой магнит (феррит) 0,01 поверхность нейтронной звезды 108

См. также[править]

Примечания[править]

  1. ↑ Если учитывать и действие электрического поля , то формула (полной) силы Лоренца принимает вид:
    При отсутствии электрического поля (или если член, описывающий его действие, специально вычесть из полной силы) имеем формулу, приведённую в основном тексте.
  2. ↑ Это определение с современной точки зрения менее фундаментально, чем приведённое выше (и является просто его следствием), однако может быть полезным как один из практических способов измерения магнитной индукции, а также с исторической точки зрения.
  3. ↑ Пробный заряд — это точечный заряд, достаточно малый по величине, чтобы своим присутствием он не мог изменить внешнее по отношению к нему поле. Пробный ток – ток, существующий в плоском контуре малых размеров.
  4. ↑ То есть в частном случае постоянных токов и постоянных электрического и магнитного полей или — приближённо — если изменения настолько медленны, что ими можно пренебречь.
  5. ↑ Являющаяся частным магнитостатическим случаем закона Ампера — Максвелла.
  6. ↑ Сила, действующая на провод, по которому проходит ток, аналогична силе, действующей на движущийся заряд, поскольку провод, по которому проходит ток, можно рассматривать как совокупность движущихся зарядов.
  7. ↑ Магнитный заряд (монополь) — гипотетическая элементарная частица, обладающая ненулевым магнитным зарядом — точечный источник радиального магнитного поля. Магнитный заряд является источником статического магнитного поля совершенно так же, как электрический заряд является источником статического электрического поля.

Источники[править]

  1. ↑ Магнитная индукция // Большая советская энциклопедия : в 30 т. / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
  2. ↑ Лоренца сила // Большая советская энциклопедия : в 30 т. / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
  3. ↑ Шаблон:ФЭС
  4. ↑ Уравнения Максвелла // БРЭ

Литература[править]

Коваленко И. И. Курс физики: учебное пособие. Электричество и магнетизм. — СПб.: ГУАП, 2020. — 143 с. — ISBN 978-5-8088-1480-6.

Ссылки[править]

Знание.Вики

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Знание.Вики» («znanierussia.ru») под названием «Магнитная индукция», расположенная по следующим адресам:

—https://baza.znanierussia.ru/mediawiki/index.php/Магнитная_индукция
—«https://znanierussia.ru/articles/Магнитная_индукция»

Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий.

Всем участникам Знание.Вики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».

Источник — http://cyclowiki.org/w/index.php?title=Магнитная_индукция&oldid=2152127