Площадь поверхности икосаэдра

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Икосаэдр
ПИКО01.JPG

Площадь поверхности икосаэдра — это число, характеризующее икосаэдр в единицах измерения площади.

[править] Обозначения

Введём обозначения:

a — длина ребра;

r — радиус вписанной сферы;

R — радиус описанной сферы;

Sтреуг — площадь правильного треугольника (грани);

Vикос — объём икосаэдра;

Sикос — площадь поверхности икосаэдра.

[править] Формула

[math]S_\text{икос}=5\sqrt{3}a^2 \Leftrightarrow S_\text{икос}= 20S_\text{треуг}, \ S_\text{треуг}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_\text{икос}=\frac{3V_\text{икос}}{r}, \ V_\text{икос}=\frac{15+5\sqrt{5}}{12}a^3, \ r=\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{15}}{12}a \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_\text{икос}=\left(10\sqrt{3}-2\sqrt{15}\right)R^2, \ R=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}a \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow S_\text{икос}=\left(210\sqrt{3}-90\sqrt{15}\right)r^2, \ r=\frac{\sqrt{75+30\sqrt{5}}}{15}R[/math]

[править] Площадь других многогранников

Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты