Циклопедия скорбит по жертвам террористического акта в Крокус-Сити (Красногорск, МО)

Расстояние между прямыми в трёхмерном пространстве

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Видеоурок «Расстояние между прямыми в пространстве» // Математика от alwebra.com.ua [6:52]
С2 ЕГЭ. Расстояние между скрешивающиеся прямыми // Alex Nij [9:42]

Расстояние между прямыми — это длина перпендикуляра к этим прямым, соединяющего две точки этих прямых (одна точка на одной прямой, другая на другой).

Обозначения[править]

Введём обозначения:

 — радиус-вектор точки на первой прямой;

 — радиус-вектор точки на второй прямой;

 — направляющий вектор первой прямой;

 — направляющий вектор второй прямой;

 — уравнение первой прямой;

 — уравнение второй прямой;

 — расстояние между первой и второй прямыми.

Формула для скрещивающихся прямых[править]

Формула для скрещивающихся прямых в координатной форме

Для скрещивающихся прямых формула имеет вид:

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно отношению модуля смешанного произведения векторов (r2 − r1), s1 и s2 к модулю векторного произведения векторов s1 и s2. Геометрический смысл формулы: расстояние — это длина высоты параллелепипеда (построенного на векторах (r2 − r1), s1 и s2), опущенной на основание в виде параллелограмма (построенного на векторах s1 и s2), равная отношению объёма параллелепипеда к площади параллелограмма.

Формула расстояния между скрещивающимися прямыми в координатной форме имеет вид:

Пример[править]

Даны две скрещивающиеся прямые: и .

Найти расстояние между ними.

Решение.

П010.PNG

Формула для параллельных прямых[править]

Формула для параллельных прямых в координатной форме

Для параллельных прямых формула имеет вид:

Расстояние между параллельными прямыми равно отношению модуля векторного произведения векторов (r2 − r1) и s1 к длине вектора s1. Геометрический смысл формулы: расстояние — это длина высоты параллелограмма (построенного на векторах (r2 − r1) и s1), опущенной на основание параллелограмма в виде вектора (s1), равная отношению площади параллелограмма к длине основания.

Формула расстояния между параллельными прямыми в координатной форме имеет вид:

  • Для параллельных прямых формула верна для векторов (r2 − r1) и s2 так же, как и для векторов (r2 − r1) и s1.

Пример[править]

Даны две параллельные прямые: и .

Найти расстояние между ними.

Решение.

Другие формулы[править]


Литература[править]

  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.

Ссылки[править]