Расстояние от точки до прямой в трёхмерном пространстве

Расстояние от точки до прямой в пространстве [1:09]

Расстояние от точки до прямой (метод координат) [5:40]

Формула расстояния от точки до прямой в координатной форме

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра к прямой, опущенного из точки.

Обозначения

Введём обозначения:

${\bar {r}}_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ — радиус-вектор точки;

${\bar {r}}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ — радиус-вектор точки на прямой;

${\bar {s}}_{1}=(l_{1},m_{1},n_{1})$ — направляющий вектор прямой;

${\frac {x-x_{1}}{l_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{m_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{n_{1}}}$ — уравнение прямой;

$d_{01}$ — расстояние от точки до прямой.

Формула

Для точки и прямой формула расстояния имеет вид:

$d_{01}={\frac {\left|\left[\left({\bar {r}}_{0}-{\bar {r}}_{1}\right)\times {\bar {s}}_{1}\right]\right|}{\left|{\bar {s}}_{1}\right|}}\Leftrightarrow d_{01}={\frac {S_{\left({\bar {r}}_{0}-{\bar {r}}_{1}\right){\bar {s}}_{1}}}{\left|{\bar {s}}_{1}\right|}}$

Расстояние от точки до прямой равно отношению модуля векторного произведения векторов (r₀ − r₁) и s₁ к длине вектора s₁. Геометрический смысл формулы: расстояние — это длина высоты параллелограмма (построенного на векторах (r₀ − r₁) и s₁), опущенной на основание параллелограмма в виде вектора (s₁), равная отношению площади параллелограмма к длине основания.

Формула расстояния от точки до прямой в координатной форме имеет вид:

$d_{01}={\frac {\sqrt {{\begin{vmatrix}x_{0}-x_{1}&y_{0}-y_{1}\\l_{1}&m_{1}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}y_{0}-y_{1}&z_{0}-z_{1}\\m_{1}&n_{1}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}z_{0}-z_{1}&x_{0}-x_{1}\\n_{1}&l_{1}\end{vmatrix}}^{2}}}{\sqrt {l_{1}^{2}+m_{1}^{2}+n_{1}^{2}}}}$

Пример

Даны точка и прямая: $(-4;3;5)$ и ${\frac {x-1}{-2}}={\frac {y+5}{3}}={\frac {z+1}{4}}$.

Найти расстояние между ними.

Решение.

Дана точка $(-4;3;5)\Rightarrow {\bar {r}}_{0}=(-4;3;5)$

Дана прямая ${\frac {x-1}{-2}}={\frac {y+5}{3}}={\frac {z+1}{4}}\Rightarrow {\bar {r}}_{1}=(1;-5;-1),\ {\bar {s}}_{1}=(-2;3;4)$

${\bar {r}}_{0}-{\bar {r}}_{1}=(-4;3;5)-(1;-5;-1)=(-5;8;6)$

$\left[\left({\bar {r}}_{0}-{\bar {r}}_{1}\right)\times {\bar {s}}_{1}\right]=\left[(-5;8;6)\times (-2;3;4)\right]={\begin{vmatrix}{\bar {i}}&{\bar {j}}&{\bar {k}}\\-5&8&6\\-2&3&4\end{vmatrix}}==14{\bar {i}}+8{\bar {j}}+{\bar {k}}=(14;8;1)$

$\left|\left[\left({\bar {r}}_{0}-{\bar {r}}_{1}\right)\times {\bar {s}}_{1}\right]\right|=\left|(14;8;1)\right|={\sqrt {14^{2}+8^{2}+1^{2}}}={\sqrt {196+64+1}}={\sqrt {261}}$

$\left|{\bar {s}}_{1}\right|=\left|(-2;3;4)\right|={\sqrt {(-2)^{2}+3^{2}+4^{2}}}={\sqrt {4+9+16}}={\sqrt {29}}$

$d_{01}={\frac {\left|\left[\left({\bar {r}}_{0}-{\bar {r}}_{1}\right)\times {\bar {s}}_{1}\right]\right|}{\left|{\bar {s}}_{1}\right|}}={\frac {\sqrt {261}}{\sqrt {29}}}={\sqrt {\frac {261}{29}}}={\sqrt {9}}=3$

Другие формулы

• расстояние между точками;
• расстояние между прямыми;
• расстояние от точки до прямой;
• расстояние от точки до плоскости.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.