Симплекс-метод

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Лекция 2 Симплекс-метод // Marina Kuzminova [1:33:59]

Симплекс-метод — метод для решения задач линейного программирования канонического вида, т.е. задач с ограничениями в форме равенств.

Содержание

[править] Описание метода

Суть симплекс-метода состоит в переходе от одной угловой точки (одного базиса) многогранника допустимых решений к другой (другому базису) с целью оптимизации целевой функции. При этом симплекс-таблица в каждом базисе новая. Целевая функция соответствует гиперплоскости (в заданном базисе), которая проходит через угловую точку. Оценки оптимальности соответствуют отклонениям относительно гиперплоскости. Когда все оценки оптимальности положительны, тогда целевая функция достигает максимума, когда все оценки оптимальности отрицательны, тогда целевая функция достигает минимума.

[править] Каноническая задача

Математическая модель канонической задачи имеет следующий вид:

[math]L(X) = \sum\limits_{j=1}^n c_jx_j \rightarrow \max[/math]
[math]\begin{cases}\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}x_j=b_i, \ \forall i\in N_m \\ x_j \ge 0, \forall j\in N_n\end{cases}[/math]

или

[math]L(X) = c_1x_1 + c_2x_2 + \ldots + c_nx_n \rightarrow \max[/math]
[math]\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n=b_2 \\ \ldots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n=b_m \\ x_1 \ge 0, \ x_2 \ge 0, \ldots, \ x_n \ge 0 \end{cases}[/math]

В каждой угловой точке многогранника допустимых решений число базисных элементов совпадает с числом (независимых) уравнений. Симплекс-таблица для базисных элементов имеет единичные вектор-столбцы.

[править] Расширенная матрица

Для построения симплекс-таблицы, необходимо выбрать базисные элементы, построить из базисных вектор-столбцов матрицы коэффициентов A базисную матрицу B. Затем рассчитать матрицу коэффициентов A’ по формулам и построить расширенную матрицу.

СМ03.JPG.

Расширенная матрица исходной симплекс-таблицы имеет вид:

СМ04.JPG

[править] Симплекс-таблица

Исходная симплекс-таблица имеет вид:

СМ041.JPG

Формулы выбора переменных для ввода в базис и для вывода из базиса

СМ05.JPG

В случае когда Δ=0, опорное решение X - оптимальное и завершение итераций, иначе строится новая симплекс-таблица с новым опорным решением.

Формулы перехода к новой симплекс-таблице имеют вид:

СМ06.JPG

Расширенная матрица новой симплекс-таблицы имеет вид:

СМ07.JPG

Новая симплекс-таблица имеет вид:

СМ071.JPG

Далее переходят к выбору новых переменных для ввода в базис и для вывода из базиса.

  • Заметим, что при решении задачи максимизации при выборе новой переменной выбирают минимальную оценку Δj, чтобы избавиться от всех отрицательных оценок Δj. При решении задачи минимизации при выборе новой переменной надо выбирать максимальную оценку Δj, чтобы избавиться от всех положительных оценок Δj. Оценки Δj называются критериями оптимальности.

[править] Другие методы:

[править] Литература

  • Юдин Д. Б., Гольштейн Е. Г. Линейное программирование — М.,1963.
Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты