Угол между прямой и плоскостью в трёхмерном пространстве

Угол между прямой и плоскостью. Видеоурок по геометрии 10 класс [9:56]

Угол между прямой и плоскостью — угол между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости.

Обозначения

${\bar {s}}_{1}=(l_{1},m_{1},n_{1})$ — направляющий вектор прямой;

${\bar {n}}_{2}=(A_{2},B_{2},C_{2})$ — нормаль к плоскости;

${\frac {x-x_{1}}{l_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{m_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{n_{1}}}$ — уравнение прямой;

$A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0$ — уравнение плоскости;

$\varphi _{{\bar {s}}_{1}{\bar {n}}_{2}}$ — угол между прямой и плоскостью Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}}<\varphi _{{\bar {s}}_{1}{\bar {n}}_{2}}<{\frac {\pi }{2}}\right)} .

Формулы

Векторная форма

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \varphi _{{\bar {s}}_{1}{\bar {n}}_{2}}=arcsin{\frac {\left({\bar {s}}_{1}\cdot {\bar {n}}_{2}\right)}{\left|{\bar {s}}_{1}\right|\cdot \left|{\bar {n}}_{2}\right|}}}

Координатная форма

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \varphi _{{\bar {s}}_{1}{\bar {n}}_{2}}=arcsin{\frac {l_{1}A_{2}+m_{1}B_{2}+n_{1}C_{2}}{{\sqrt {l_{1}^{2}+m_{1}^{2}+n_{1}^{2}}}\cdot {\sqrt {A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}}}}

Другие формулы:

1. Угол между векторами;
2. Угол между прямыми;
3. Угол между плоскостями;
4. Угол между прямой и плоскостью;
5. Тригонометрические функции углов.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.