Формулы для икосаэдра

Икосаэдр

Икосаэдр — один из пяти возможных правильных многогранников, который представляет собой двадцатигранник с гранями из правильных треугольников.

Обозначения

a — длина ребра;

r — радиус вписанной сферы;

R — радиус описанной сферы;

S_треуг — площадь правильного треугольника (грани);

S_{икосаэдр} — площадь поверхности икосаэдра;

V_пирам — объём пирамиды с правильным треугольником в основании (грань икосаэдра) и равнобедренными треугольниками в боковых гранях;

V_{икосаэдр} — объём икосаэдра.

Формулы

${\text{Г}}=20,{\text{В}}=12,{\text{Р}}=30$

Радиус вписанной сферы

$r={\frac {3{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}}{12}}a\Leftrightarrow r={\frac {{\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}})}{12}}a\Leftrightarrow r={\frac {\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}{15}}R$

Радиус описанной сферы

$R={\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}a\Leftrightarrow R={\frac {{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{4}}a\Leftrightarrow R={\sqrt {15-6{\sqrt {5}}}}r$

Периметр

$P_{\text{икосаэдр}}=30a$

Площадь

$S_{\text{икосаэдр}}=5{\sqrt {3}}a^{2}\Leftrightarrow S_{\text{икосаэдр}}=20S_{\text{треуг}},\ S_{\text{треуг}}={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}\Leftrightarrow S_{\text{икосаэдр}}={\frac {3V_{\text{икосаэдр}}}{r}}\Leftrightarrow S_{\text{икосаэдр}}=\left(10{\sqrt {3}}-2{\sqrt {15}}\right)R^{2}\Leftrightarrow S_{\text{икосаэдр}}=\left(210{\sqrt {3}}-90{\sqrt {15}}\right)r^{2}$

Объём

$V_{\text{икосаэдр}}={\frac {15+5{\sqrt {5}}}{12}}a^{3}\Leftrightarrow V_{\text{икос}}=20V_{\text{тетр}},\ V_{\text{тетр}}={\frac {3+{\sqrt {5}}}{48}}a^{3}\Leftrightarrow V_{\text{икосаэдр}}={\frac {1}{3}}S_{\text{икосаэдр}}r\Leftrightarrow V_{\text{икосаэдр}}={\frac {2{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{3}}R^{3}\Leftrightarrow V_{\text{икосаэдр}}=\left(70{\sqrt {3}}-30{\sqrt {15}}\right)r^{3}$

• Заметим, что отношение радиусов вписанной и описанной сфер для додекаэдра и икосаэдра одинаково.

Другие многогранники

1. тетраэдр;
2. куб;
3. октаэдр;
4. додекаэдр;
5. икосаэдр;
6. правильный n-гранник.