Формулы для октаэдра

Октаэдр

Октаэдр — один из пяти возможных правильных многогранников, который представляет собой восьмигранник с гранями из правильных треугольников.

Обозначения

a — длина ребра;

h — высота или диагональ;

r — радиус вписанной сферы;

R — радиус описанной сферы;

S_треуг — площадь равностороннего треугольника (грани);

S_сеч — площадь квадратного сечения;

S_{октаэдр} — площадь поверхности октаэдра;

V_пирам — объём пирамиды с правильным треугольником в основании (грань октаэдра) и равнобедренными треугольниками в боковых гранях;

V_{октаэдр} — объём октаэдра.

Формулы

${\text{Г}}=8,{\text{В}}=6,{\text{Р}}=12$

Радиус вписанной сферы

$r={\frac {\sqrt {6}}{6}}a\Leftrightarrow r={\frac {\sqrt {3}}{3}}R$

Радиус описанной сферы

$R={\frac {\sqrt {2}}{2}}a\Leftrightarrow R={\sqrt {3}}r$

Периметр

$P_{\text{октаэдр}}=12a$

Площадь

$S_{\text{октаэдр}}=2{\sqrt {3}}a^{2}\Leftrightarrow S_{\text{октаэдр}}=8S_{\text{треуг}},\ S_{\text{треуг}}={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}\Leftrightarrow S_{\text{октаэдр}}={\frac {3V_{\text{октаэдр}}}{r}}\Leftrightarrow S_{\text{октаэдр}}=12{\sqrt {3}}r^{2},\Leftrightarrow S_{\text{октаэдр}}=4{\sqrt {3}}R^{2}$

Объём

$V_{\text{октаэдр}}={\frac {\sqrt {2}}{3}}a^{3}\Leftrightarrow V_{\text{октаэдр}}={\frac {1}{3}}S_{\text{сеч}}h,\ S_{\text{сеч}}=a^{2},\ h={\sqrt {2}}a\Leftrightarrow V_{\text{октаэдр}}={\frac {1}{3}}S_{\text{октаэдр}}r\Leftrightarrow V_{\text{октаэдр}}=4{\sqrt {3}}r^{3}\Leftrightarrow V_{\text{октаэдр}}={\frac {4}{3}}R^{3}$

• Заметим, что отношение радиусов вписанной и описанной сфер для куба и октаэдра одинаково.

Другие многогранники

1. тетраэдр;
2. куб;
3. октаэдр;
4. додекаэдр;
5. икосаэдр;
6. правильный n-гранник.