Формулы для числа пи

 → Пи (число)

Число пи (π) — математическая константа, иррациональное и трансцендентное число, равное отношению длины окружности к её диаметру. Приблизительно равно 3,1415926535….

Существует множество формул, выражающих число пи через ряды, пределы, интегралы, бесконечные произведения, примеры которых представлены ниже.

Ряд

Число π представимо в виде ряда.

Пример 1

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}-\frac{1}{15}+\frac{1}{17}-\frac{1}{19}+\frac{1}{21}-\ldots \right) \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow \pi = 4\cdot\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} \Leftrightarrow \pi = 4\cdot\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{2n-1}}

Пример 2

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pi = 2\sqrt{3}\cdot\left(1-\frac{1}{3\cdot 3}+\frac{1}{3^2\cdot 5}-\frac{1}{3^3\cdot 7}+\frac{1}{3^4\cdot 9}-\frac{1}{3^5\cdot 11}+\ldots\right) \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow \pi = 2\sqrt{3}\cdot\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{3^n(2n+1)} \Leftrightarrow \pi=6\sqrt{3}\cdot\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{3^n(2n-1)}}

Бесконечное произведение

Число π представимо в виде бесконечного произведения.

Формула Валлиса

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pi=2\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{8}{7}\cdot\frac{8}{9}\cdot\frac{10}{9}\cdot\frac{10}{11}\cdot\frac{12}{11}\cdot\frac{12}{13}\cdot\frac{14}{13}\cdot\frac{14}{15}\cdot\ldots\Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow \pi=2\cdot\frac{2^2}{1\cdot 3}\cdot\frac{4^2}{3\cdot 5}\cdot\frac{6^2}{5\cdot 7}\cdot\frac{8^2}{7\cdot 9}\cdot\frac{10^2}{9\cdot 11}\cdot\frac{12^2}{11\cdot 13}\cdot\frac{14^2}{13\cdot 15}\cdot\ldots\Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow \pi=2\cdot\prod\limits_{n=1}^\infty\frac{4n^2}{4n^2-1}}

Формула Виета

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pi=2\cdot\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\cdot\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}\cdot\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}\cdot\ldots \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow \pi=2\cdot\frac{1}{\cos \frac{\pi}{4}}\cdot\frac{1}{\cos \frac{\pi}{8}}\cdot\frac{1}{\cos \frac{\pi}{16}}\cdot\frac{1}{\cos \frac{\pi}{32}}\cdot\ldots \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow \pi=2\cdot\prod\limits_{n=2}^\infty\frac{1}{\cos \frac{\pi}{2^n}}}

Предел

Число π представимо в виде предела:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pi = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{2^{4n}\cdot \left(n!\right)^4}{n\cdot\left[\left(2n\right)!\right]^2}}

Интеграл

Число π представимо в виде интеграла.

Пример 1

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pi = \int\limits_0^{+\infty}\frac{dx}{\left(x+1\right)\sqrt{x}}}

Пример 2

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pi = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx \Leftrightarrow \pi = 2\int\limits_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx}

Интеграл Эйлера-Пуассона

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pi = \left(\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx\right)^2 \ \Leftrightarrow \ \pi = 4\left(\int\limits_0^{+\infty}e^{-x^2}dx\right)^2}