Формулы для числа пи

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск

 → Пи (число)

Число пи (π) — математическая константа, иррациональное и трансцендентное число, равное отношению длины окружности к её диаметру. Приблизительно равно 3,1415926535….

Существует множество формул, выражающих число пи через ряды, пределы, интегралы, бесконечные произведения, примеры которых представлены ниже.

Содержание

[править] Ряд

Число π представимо в виде ряда.

[править] Пример 1

[math]\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}-\frac{1}{15}+\frac{1}{17}-\frac{1}{19}+\frac{1}{21}-\ldots \right) \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow \pi = 4\cdot\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} \Leftrightarrow \pi = 4\cdot\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{2n-1}[/math]

[править] Пример 2

[math]\pi = 2\sqrt{3}\cdot\left(1-\frac{1}{3\cdot 3}+\frac{1}{3^2\cdot 5}-\frac{1}{3^3\cdot 7}+\frac{1}{3^4\cdot 9}-\frac{1}{3^5\cdot 11}+\ldots\right) \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow \pi = 2\sqrt{3}\cdot\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{3^n(2n+1)} \Leftrightarrow \pi=6\sqrt{3}\cdot\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{3^n(2n-1)}[/math]

[править] Бесконечное произведение

Число π представимо в виде бесконечного произведения.

[править] Формула Валлиса

[math]\pi=2\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{8}{7}\cdot\frac{8}{9}\cdot\frac{10}{9}\cdot\frac{10}{11}\cdot\frac{12}{11}\cdot\frac{12}{13}\cdot\frac{14}{13}\cdot\frac{14}{15}\cdot\ldots\Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow \pi=2\cdot\frac{2^2}{1\cdot 3}\cdot\frac{4^2}{3\cdot 5}\cdot\frac{6^2}{5\cdot 7}\cdot\frac{8^2}{7\cdot 9}\cdot\frac{10^2}{9\cdot 11}\cdot\frac{12^2}{11\cdot 13}\cdot\frac{14^2}{13\cdot 15}\cdot\ldots\Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow \pi=2\cdot\prod\limits_{n=1}^\infty\frac{4n^2}{4n^2-1}[/math]

[править] Формула Виета

[math]\pi=2\cdot\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\cdot\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}\cdot\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}\cdot\ldots \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow \pi=2\cdot\frac{1}{\cos \frac{\pi}{4}}\cdot\frac{1}{\cos \frac{\pi}{8}}\cdot\frac{1}{\cos \frac{\pi}{16}}\cdot\frac{1}{\cos \frac{\pi}{32}}\cdot\ldots \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow \pi=2\cdot\prod\limits_{n=2}^\infty\frac{1}{\cos \frac{\pi}{2^n}}[/math]

[править] Предел

Число π представимо в виде предела:

[math]\pi = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{2^{4n}\cdot \left(n!\right)^4}{n\cdot\left[\left(2n\right)!\right]^2}[/math]

[править] Интеграл

Число π представимо в виде интеграла.

[править] Пример 1

[math]\pi = \int\limits_0^{+\infty}\frac{dx}{\left(x+1\right)\sqrt{x}}[/math]

[править] Пример 2

[math]\pi = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx \Leftrightarrow \pi = 2\int\limits_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx[/math]

[править] Интеграл Эйлера-Пуассона

[math]\pi = \left(\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx\right)^2 \ \Leftrightarrow \ \pi = 4\left(\int\limits_0^{+\infty}e^{-x^2}dx\right)^2[/math]
Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты