Численное интегрирование

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
1603. Численное интегрирование // kirianov [3:48]

Численное интегрирование — это способ вычисления определённого интеграла по приближенной формуле, являющейся суммой взвешенных значений функций.

Содержание

[править] Описание

Суть численного интегрирования состоит в расчёте значения определённого интеграла по взвешенным значениям подынтегральной функции, без использования первообразной функции.

Сила численного интегрирования состоит в возможности оценки значения определённого интеграла путём простых вычислений.

[править] Формула

При численном интегрировании используется общая формула определённого интеграла [math]\int\limits_a^bf(x)dx=I_n+R_n[/math], где

[math]I_n=\sum\limits_{i=1}^nq_if(x_i)[/math] — квадратурная формула,
xi — некоторые точки отрезка [a, b],
n — число отрезков на [a; b],
f(xi) — значения подынтегральной функции в точках xi,
qi — весовые коэффициенты,
Rn — остаточный член.

[править] Порядок точности формул

  • m = 1 для формулы правых прямоугольников
  • m = 1 для формулы левых прямоугольников
  • m = 2 для формулы прямоугольников
  • m = 2 для формулы трапеций
  • m = 4 для формулы Симпсона
  • m = 4 для формулы трёх восьмых

[править] Правило Рунге

Для оценки точности расчёта интеграла I с помощью квадратурных формул (например, необходимо рассчитать значение интеграла с помощью квадратурной формулы для I2n=Ih/2) на практике можно применять правило Рунге:

[math]\left|I-I_{2n}\right|\lt\frac{\left|I_{2n}-I_n\right|}{2^m-1}[/math] или [math]\left|I-I_{h/2}\right|\lt\frac{\left|I_{h/2}-I_h\right|}{2^m-1}[/math], где
In = Ih — значение квадратурной формулы при шаге h = (b − a)/n,
I2n = Ih/2 — значение квадратурной формулы при шаге h/2 = (b − a)/(2n),
m — порядок точности квадратурной формулы.

Условие применения правила Рунге строго задаётся для чётного n следующим неравенством:

[math]2^m\left|\frac{I_n-I_{2n}}{I_{n/2}-I_n}-1\right|\lt0,1[/math] или [math]2^m\left|\frac{I_h-I_{h/2}}{I_{2h}-I_h}-1\right|\lt0,1[/math], где
In = Ih — значение квадратурной формулы при шаге h = (b − a)/n,
I2n = Ih/2 — значение квадратурной формулы при шаге h/2 = (b − a)/(2n),
In/2 = I2h — значение квадратурной формулы при шаге 2h = (b − a)/(n/2),
m — порядок точности квадратурной формулы.

[править] Формула Ричардсона

Более точным (по крайней мере на порядок выше, то есть с порядком точности m + 1) значением интеграла I (по сравнению со значением I2n = Ih/2) является значение I*, вычисленное или экстраполированное по формуле Ричардсона:

[math]I^*=\frac{2^mI_{2n}-I_n}{2^m-1}[/math] или [math]I^*=\frac{2^mI_{h/2}-I_h}{2^m-1}[/math], где
In = Ih — значение квадратурной формулы при шаге h = (b − a)/n,
I2n = Ih/2 — значение квадратурной формулы при шаге h/2 = (b − a)/(2n),
m — порядок точности квадратурной формулы.

[править] Виды формул:

[править] Численные методы:

[править] Литература

  • Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики — М.: Наука, 1970
Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты