Элементарная матрица

Элементарная матрица (англ. elementary matrix) — квадратная матрица, полученная в результате осуществления элементарных преобразований строк или столбцов единичной матрицы. При построении элементарной матрицы допускается только одно элементарное преобразование, но оно может осуществлятся несколько раз.

Определение. Пусть $E$ — матрица $n\times n$ . Матрица $E$ является элементарной матрицей если она получена в результате одного элементарного преобразования над строками единичной матрицы $I$ , имеющей размер $n\times n$ . Если применялось преобразование перестановка строк, то матрица $E$ называется матрицей перестановок.

Элементарная матрица используется чтобы заменить элементарные преобразования. Умножение слева на элементарную матрицу $E$ дает тот же результат, что и применение элементарных преобразований для получения элементарной матрицы $E$ .

Чтобы применить любое элементарное преобразование к матрице $A$ достаточно получить произведение $EA$ , где $E$ — это элементарная матрица, полученная в результатет применения необходимого элементарного преобразования строк к единичной матрице.

Примеры элементарных матриц[править]

Элементарная матрица, полученная элементарным преобразованием перестановка строк единичной матрицы:

E={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}

Эта матрица называется матрицей перестановок.

Элементарная матрица, полученная элементарным преобразованием умножение второй строки единичной матрицы на $3$ :

E={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&3&0\\0&0&1\end{pmatrix}}

Элементарная матрица, полученная элементарным преобразованием прибавление −3 раз первой строки ко второй строке единичной матрицы:

E={\begin{pmatrix}1&0\\-3&1\end{pmatrix}}

Векторы

Основные понятия	Вектор в геометрии Базис Ортогональный базис Координаты вектора Коллинеарность Ортогональность Линейная зависимость Линейная оболочка Линейное подпространство Пространство столбцов
Виды векторов	Единичный вектор Аксиальный вектор Изотропный вектор Нормаль Коллинеарность Нулевой вектор Радиус-вектор Собственный вектор
Операции над векторами	Скалярное произведение Векторное произведение Смешанное произведение Псевдоскалярное произведение Двойное векторное произведение
Типы пространств	Векторное пространство Аффинное пространство Евклидово пространство Псевдоевклидово пространство Нормированное пространство Пространство Минковского

Матрицы

Основные понятия	Умножение матриц Транспонированная матрица Эрмитово-сопряжённая матрица Одноранговая матрица Симметричная матрица Обратная матрица Собственное значение Характеристический многочлен матрицы Элементарная матрица
Специальные матрицы	Единичная матрица Нулевая матрица Диагональная матрица Лямбда-матрица
Разложения матриц	LU-разложение Разложение Холецкого QR-разложение LUP-разложение Сингулярное разложение Спектральное разложение матрицы

Другое

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Руниверсалис» («Руни», руни.рф) под названием «Элементарная матрица», расположенная по адресу:

—	https://руни.рф/Элементарная_матрица

Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC BY-SA.

Всем участникам Руниверсалиса предлагается прочитать «Обращение к участникам Руниверсалиса» основателя Циклопедии и «Почему Циклопедия?».

Элементарная матрица

Примеры элементарных матриц[править]

Навигация

Поиск