Площадь (математика)

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
← другие значения
Наука
Математика
Файл:Formulas para área de un triángulo.svg
Область математики
Тема

Площадь

Предмет изучения

сколько единичных квадратов и их частей заполняет плоскую фигуру

Основные направления

математика

Вспомогат. дисциплины

алгебра, геометрия, математический анализ, тригонометрия

 Просмотреть·Обсудить·Изменить

Пло́щадь (в математике) — одна из количественных характеристик геометрических фигур, показывающая сколько единичных квадратов и их частей заполняет плоскую фигуру. Единичный квадрат — это квадрат со стороной, равной единице длины[1].

Свойства площади[править]

Свойство аддитивности площади (на примере выпуклого многоугольника)

К основным свойствам площади относятся следующие её свойства:

  1. положительность (значения площади выражаются только положительными числами);
  2. аддитивность (площадь фигуры, составленной из нескольких частей, которые не имеют общих точек — не пересекаются, равна сумме площадей её частей):
  3. инвариантность (значения площади при перемещениях не изменяются);
  4. нормированность (площадь единичного квадрата равна квадрату его стороны)[2].

Площадь плоских фигур[править]

Основные формулы для вычисления площади некоторых плоских фигур[3]
Название плоской фигуры Формула Обозначения Изображение
Квадрат Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S=a^2} ,Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S=\frac{1}{2}d^2} a — длина стороны квадрата

d — диагональ квадрата

Файл:Square (geometry).svg
Квадрат
Прямоугольник Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S=a b} a и b — длины сторон прямоугольника
Файл:Prostokat-rectangle.svg
Прямоугольник
Параллелограмм Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S=a h} ,

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S=ab\sin C} ,Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S=\frac{1}{2}d_1d_2\sin\theta}

a — основание, h — высота

a и b — смежные стороны, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \angle C}  — угол между ними

d1 и d2 — диагонали параллелограмма, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \angle\theta}  — угол между ними

Параллелограмм
Ромб Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S=\frac{1}{2}d_1 d_2} AC=d1 и BD=d2 - диагонали ромба
Файл:Color parallelogram.svg
Ромб
Треугольник Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S=\frac{1}{2}ah} ,

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S=\frac{1}{2}ab\sin C} ,

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S=\frac{abc}{4R}} ,

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S=\frac{1}{2} Pr}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(h-c)}}

a — основание, h — высота

a и b — смежные стороны, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \angle C}  — угол между ними

a, b и c — стороны треугольника, R — радиус описанной окружности

P — периметр треугольника, r — радиус вписанной окружности

a, b и c — стороны треугольника, p — его периметр (формула Герона)

Файл:Simple triangle with height marked.svg
Треугольник
Трапеция Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S=\frac{1}{2}(a+b)h} a и b — основания, h — высота трапеции
Файл:Trapezoid sides altitude.svg
Трапеция
Круг Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S=\pi r^2} r — радиус круга
Файл:Circle area 2 ko.svg
Круг

Способы нахождения площади[править]

Квадрируемая фигура с внешней и внутренней областью

Квадрируемые фигуры[править]

Плоская фигура F произвольной формы квадрируема, если существуют такие многоугольные фигуры F1 и F2, что F1 Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \subset} F Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \subset} F2[4].

Под внешней площадью фигуры понимается множество элементарных квадратов, имеющих точную нижнюю границу, под внутренней — множество элементарных квадратов, имеющих точную верхнюю. Фигуру, с равными внешней и внутренней площадью, называют квадрируемой[2].

Если верхняя площадь фигуры совпадает с её нижней площадью, то эта величина называется площадью фигуры, а сама фигура — квадрируемой. На данном определении построена теория площадей плоских фигур, ограниченных простыми (то есть не пересекающими себя) контурами[5].

Площадь криволинейной трапеции

Аналитический способ[править]

Площадь плоских фигур — так называемых криволинейных трапеций можно вычислить с помощью определённого интеграла по формуле Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx} , где f(x) — функция, ограничивающая заданную фигуру сверху, x=a и x=b — прямые, ограничивающие её слева и справа соответственно, [a; b] — отрезок оси Ox, ограничивающий фигуру снизу[1].

Площадь плоской фигуры, ограниченных двумя кривыми y1(x) и y2(x) и прямыми x=a и x=b, ограничивающих её слева и справа соответственно можно вычислить с помощью определённого интеграла по формуле Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S=\int\limits_{a}^{b}y_1(x)-y_2(x)dx} [6].

Если фигура, ограниченна замкнутым контуром, который встречается с каждой прямой, параллельной к оси Oy, не более чем в двух точках, то её площадь находят с помощью двойного интеграла по формуле Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S=\iint\limits_F dxdy} [1].

Площадь поверхности[править]

Площадь поверхности для многогранных поверхностей равна сумма площадей её плоских граней[4].

Площадей фигуры, расположенной на кривой поверхности, заданной уравнением z=f(x, y), может быть выражена двойным интегралом Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S=\iint\limits_D \sqrt{1+(f'_x)^2+(f'_y)^2}dxdy} [1].

Единицы измерения площади[править]

Таблица единиц площади в метрической системе мер:

1мм2 Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \longrightarrow} 1см2 Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \longrightarrow} 1дм2 Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \longrightarrow} 1м2 Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \longrightarrow} 1а Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \longrightarrow} 1га, где каждая следующая единица площади в 100 раз больше предыдущей.

Площади больших фигур измеряют в км2.

1а = 100 м2, 1га = 10000 м2, 1км2 = 1000000 м2[7].

Литература[править]

  1. Высшая математика : учебное пособие / В. И. Белоусова, Г. М. Ермакова, М. М. Михалева, Н. В. Чуксина, И. А. Шестакова. — Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2017.— Ч. II.— 300 с.

Примечания[править]

  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 Площадь (в математике). Большая российская энциклопедия. Проверено 27 сентября 2023.
  2. ↑ 2,0 2,1 Площадь фигуры: понятие площади, свойства площади, квадрируемые фигуры. Математика на cleverstudents.ru. Проверено 29 сентября 2023.
  3. ↑ Формулы площади геометрических фигур. OnlineMSchool. Проверено 1 октября 2023.
  4. ↑ 4,0 4,1 Математическая энциклопедия площадь. es.niv.ru. Проверено 29 сентября 2023.
  5. ↑ Площадь (в математике). Большая российская энциклопедия. Проверено 29 сентября 2023.
  6. ↑ Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры. Высшая математика для заочников и не только. Проверено 1 октября 2023.
  7. ↑ Меры и единицы площади. Ваш онлайн. Проверено 1 октября 2023.


Знание.Вики

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Знание.Вики» («znanierussia.ru») под названием «Площадь (математика)», расположенная по следующим адресам:

—«https://baza.znanierussia.ru/mediawiki/index.php/Площадь_(математика)»
—«https://znanierussia.ru/articles/Площадь_(математика)»

Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий.

Всем участникам Знание.Вики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».

Источник — http://cyclowiki.org/w/index.php?title=Площадь_(математика)&oldid=2170441