Комплексный ряд Тейлора

Комплексный анализ. Лекция 9a. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора // Михаил Абрамян [44:28]

Ряд Тейлора комплексный — это степенной ряд для комплексной функции f(z), аналитичной внутри окружности K с центром в точке a и радиусом r, являющийся разложением по степеням (z − a).

Формула

$f(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n},\ |z-a|<r,\ {\text{где}}$

$a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{K'}{\frac {f(z)dz}{(z-a)^{n+1}}},$

$K'=\{z:|z-a|=r',\ r'<r\}$

Формула с остаточным членом R_n имеет вид:

$f(z)=\sum \limits _{j=0}^{n}a_{j}(z-a)^{j}+R_{n},\ |z-a|<r,\ {\text{где}}$

$a_{j}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{K'}{\frac {f(z)dz}{(z-a)^{j+1}}},\ R_{n}={\frac {(z-a)^{n+1}}{2\pi i}}\int \limits _{K'}{\frac {f(\zeta )d\zeta }{(\zeta -a)^{n+1}(\zeta -z)}},$

$K'=\{z:|z-a|=r',\ r'<r\}$

Другие ряды

• Числовой ряд;
• Ряд Маклорена;
• Ряд Тейлора;
• Ряд Тейлора комплексный;
• Ряд Лорана;
• Ряд Фурье;
• Ряд Фурье комплексный.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.