Метод Халецкого

Метод Халецкого – это метод решения ситемы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов, записанной в матричном виде Ax=b.

Описание метода

Суть метода состоит в представлении матрицы в виде произведения двух треугольных матриц, в составлении двух вспомогательных треугольных систем и решении их.

Сначала найдём главный определитель системы Δ. Метод Халецкого применим, если главный определитель системы Δ≠0.

Обозначения

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} – число строк и столбцов матриц;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n\text{×}n} – размерность матриц;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_{ij}} – элемент матрицы Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A_{n\text{×}n}} ;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b_{it}} – элемент матрицы Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B_{n\text{×}n}} ;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c_{tj}} – элемент матрицы Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_{n\text{×}n}} ;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A_{n\text{×}n}} – исходная симметриная матрица;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B_{n\text{×}n}} – нижнетреугольная матрица;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_{n\text{×}n}} – верхнетреугольная матрица.

Система

Алгоритм метода

Этап 1. Разложение квадратной матрицы A на треугольные B и C.

• Приведены основные формулы для вычисления элементов треугольных матриц и последовательность их расчёта.

Этап 2. Прямой ход — решение системы By=b относительно y.

• Приведены основные формулы для определения решения и последовательность расчёта.

Этап 3. Обратный ход — решение системы Cx=y относительно x.

• Приведены основные формулы для определения решения и последовательность расчёта.

Другие методы:

1. метод Крамера;
2. метод обратной матрицы;
3. метод неполного решения;
4. метод Гаусса;
5. метод Халецкого;
6. метод квадратных корней;
7. метод простых итераций;
8. метод Зейделя.

• Для решения систем нелинейных уравнений используется метод Ньютона.

Литература

• Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. Уч.пос., изд.5, СПб.: Лань, 2006, стр.290-291, 672 с..

Ссылки

• Участник:Logic-samara