Метод квадратных корней

Метод квадратных корней – это метод решения ситемы линейных уравнений с симметричной матрицей коэффициентов, записанной в матричном виде Ax=b.

Описание метода

Суть метода состоит в представлении симметричной матрицы в виде произведения двух треугольных матриц, транспонированных между собой, в составлении двух вспомогательных треугольных систем и решении их.

Формулы представления диагональных элементов симметричной матрицы в виде произведения взаимно транспонируемых треугольных матриц предполагают одинаковые диагональные элементы в треугольных матрицах, а потому находить их надо через квадратные корни, отсюда название метода.

Сначала найдём главный определитель системы Δ. Метод квадратных корней применим, если главный определитель системы Δ≠0.

Обозначения

$n$ – число строк и столбцов матриц;

$n{\text{×}}n$ – размерность матриц;

$a_{ij}$ – элемент матрицы $A_{n{\text{×}}n}$;

$b_{jt}$ – элемент матрицы $B_{n{\text{×}}n}$;

$A_{n{\text{×}}n}$ – исходная симметриная матрица;

$B_{n{\text{×}}n}$ – нижнетреугольная матрица;

$B_{n{\text{×}}n}^{T}$ – верхнетреугольная транспонированная матрица.

Система

Алгоритм метода

Этап 1. Разложение симметричной матрицы A на треугольные B и B^т.

• Приведены основные формулы для вычисления элементов треугольных матриц и последовательность их расчёта.

Этап 2. Прямой ход — решение системы By=b относительно y.

• Приведены основные формулы для определения решения и последовательность расчёта.

Этап 3. Обратный ход — решение системы B^тx=y относительно x.

• Приведены основные формулы для определения решения и последовательность расчёта.

Другие методы:

1. метод Крамера;
2. метод обратной матрицы;
3. метод неполного решения;
4. метод Гаусса;
5. метод Халецкого;
6. метод квадратных корней;
7. метод простых итераций;
8. метод Зейделя.

• Для решения систем нелинейных уравнений используется метод Ньютона.

Литература

• Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. Уч.пос., изд.5, СПб.: Лань, 2006, стр.287-289, 672 с..

Ссылки

• Участник:Logic-samara