Негация

Негацией (от англ. negation) называется служебная часть [математической] речи, а именно префикс математического предложения. Например:

в предложении Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ~ \neg (2 < 1)} негация Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ~ \neg} есть префикс высказывания Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ~ 2 < 1} ,

в предложении Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ~ \neg (x \in x) } негация Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ~ \neg} есть префикс предиката Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ~ x \in x} .

Негация не употребляется без предложения. Поэтому негация похожа на Русские префиксы «недо» и «пере», которые не употребляются без [значащих] слов (например, инфинитива «писать»).

Предложения могут употребляться без негации. В частности, в следующих двух примерах перед предложениями нет ни одной негации:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ~ 0 < 1} ,

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ~ x = x} .

Негация не единственный префикс, который употребляется в математике.

В Русском и Английском языках отсутствует часть речи, именуемая негацией. Вместе с тем, в названных языках есть средства аналогичные негации.

Примеры

1. It is not true that two times two is equal to five." Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ~ \Leftrightarrow \ \neg(2 \times 2 = 5)}

2. It is false that London is the capital of the USA." Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ~ \Leftrightarrow \ \neg (London \ is \ the \ capital \ of \ the \ USA.)}

Cуществует «операционное» толкование негации. Например, в статье «Отрицание» сказано:

«Отрицание в логике — унарная операция над суждениями, результатом которой является суждение (в известном смысле) „противоположное“ исходному.»

Далее в статье отмечено, что указанная «унарная операция над суждениями» (например, «над суждением» Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ~ 1 = 1} ):

a) теряет смысл в предложении «Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ~ \neg \ \neg (1 = 1) \to 1 = 1} » и обретает смысл в предложении «Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ~ 1 = 1 \to \neg \ \neg (1 = 1)} », если речь идёт об интуиционистской логике,

б) имеет смысл в обоих указанных предложениях, если речь идёт о классической логике.

Гильотинирование — унарная операция над человеками, результатом которой является человек (в известном смысле) «противоположный» исходному.

Примечания

1. Негация — самый проблемный префикс математических предложений. Он «расслаивает» математиков на три группы, а именно:

а) «детей», то есть математиков, которые избегают употреблять негацию перед предложением

(например, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ~ 2 \ge 1 \Leftrightarrow 2 > 1 \ \lor \ 2 = 1} ),

б) «подростков», то есть математиков, которые избегают употреблять более, чем одну негацию перед предложением

(например, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ~ \neg (2 < 1) \Leftrightarrow 2 > 1 \ \lor \ 2 = 1} ),

в) «взрослых», то есть математиков, которые употребляют перед предложением столько негаций, сколько «душа пожелает»

(например, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ~ \neg \ \neg \ \neg (2 < 1) \Leftrightarrow 2 > 1 \ \lor \ 2 = 1} ).

Отметим, что упомянутые «взрослые», как правило, употребляют не более, чем две негации перед предложением.

2. Вышеуказанное «расслоение» математиков имеет, говоря словами А. Эйнштейна, «внутреннее и внешнее оправдания».

«Внутреннее оправдание» заключается в естественности указанного «расслоения». Оно столь же естественно, как:

1) «расслоение» геометрии на:

а) геометрию с постулатом Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ~ \vdash \ a \subset \alpha \ \land \ A \in \alpha \setminus a \to \exists^{\{0\}} b \ (A \in b \ \land \ b \subset \alpha \ \land \ a \cap b = \varnothing)} ,

б) геометрию с постулатом Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ~ \vdash \ a \subset \alpha \ \land \ A \in \alpha \setminus a \to \exists^{\{1\}} b \ (A \in b \ \land \ b \subset \alpha \ \land \ a \cap b = \varnothing)} ,

в) геометрию с постулатом Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ~ \vdash \ a \subset \alpha \ \land \ A \in \alpha \setminus a \to \exists^{\{2,...\}} b \ (A \in b \ \land \ b \subset \alpha \ \land \ a \cap b = \varnothing)} ;

2) «расслоение» народов Западной (Христианской) цивилизации в соответствии с нормами построения отрицательных предложений.

(cравните, например, Английское предложение [с одним нормативным отрицанием] и Русское предложение [с множественным нормативным отрицанием] «Nobody sees anything. Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ~ \Leftrightarrow} Никто ничего не видит.»).

«Внешнее оправдание» заключается в востребованности указанного «расслоения». В самом деле:

1) «детское» высказывание Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ~ 2 > 1} более конкретно, чем «подростковое» высказывание Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ~ \neg (2 < 1)} , а последнее более лаконично, чем «взрослое» высказывание Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ~ \neg \ \neg \ \neg (2 < 1)} ;

2) за решение неравенства Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ~ 2x > 4} учитель математики, согласный с тезисом «Entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem.», поставит:

а) 5 (отлично), если решение имеет «детский» вид Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ~ x > 2} ,

б) 4 (хорошо), если решение имеет «подростковый» вид Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ~ \neg (x \le 2)} или Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ~ \neg (x < 2)} ,

в) 3 (удовлетворительно), если решение имеет «взрослый» вид Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ~ \neg \ \neg (x > 2)} или Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ~ \neg \ \neg \ \neg (x < 2)} .

3. С точки зрения логика, который родился, вырос и живёт в пределах Западной (Христианской) цивилизации, вышеуказанное «расслоение» математиков можно описать следующим образом.

«Математика с взрослым лицом» — это математика, в которой само собой разумеющимися являются высказывание Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ~ \forall a \ (a \leftrightarrow a)} и высказывание Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ~ \forall a \ (a \leftrightarrow \neg \ \neg \ a)} . Последнее из этих высказываний, «взрослые» [математики] принимают на веру (дескать, так повелось испокон веку) и называют Законом двойного отрицания.

«Математика с детским лицом» — это математика, в которой само собой разумеющимся является высказывание Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ~ \forall a \ (a \leftrightarrow a)} , тогда как «закон двойного отрицания» неприемлим уже потому, что он содержит слишком много негаций.

«Математика с подростковым лицом» — это математика, в которой само собой разумеющимся является высказывание Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ~ \forall a \ (a \leftrightarrow a)} , «закон двойного отрицания» отвергается и, вместе с тем, делается «книксен» в сторону «взрослых» [математиков]. Этот «книксен» может иметь вид, например, высказывания Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ~ \forall a \ (a \to \neg \ \neg \ a)} (см. статью «Отрицание»).

См. также

• Научная грамотность
• Верификатор
• Квантор