Негация

Негацией (от англ. negation) называется служебная часть [математической] речи, а именно префикс математического предложения. Например:

в предложении $~\neg (2<1)$ негация $~\neg$ есть префикс высказывания $~2<1$,

в предложении $~\neg (x\in x)$ негация $~\neg$ есть префикс предиката $~x\in x$.

Негация не употребляется без предложения. Поэтому негация похожа на Русские префиксы «недо» и «пере», которые не употребляются без [значащих] слов (например, инфинитива «писать»).

Предложения могут употребляться без негации. В частности, в следующих двух примерах перед предложениями нет ни одной негации:

$~0<1$,

$~x=x$.

Негация не единственный префикс, который употребляется в математике.

В Русском и Английском языках отсутствует часть речи, именуемая негацией. Вместе с тем, в названных языках есть средства аналогичные негации.

Примеры

1. It is not true that two times two is equal to five." $~\Leftrightarrow \ \neg (2\times 2=5)$

2. It is false that London is the capital of the USA." $~\Leftrightarrow \ \neg (London\ is\ the\ capital\ of\ the\ USA.)$

Cуществует «операционное» толкование негации. Например, в статье «Отрицание» сказано:

«Отрицание в логике — унарная операция над суждениями, результатом которой является суждение (в известном смысле) „противоположное“ исходному.»

Далее в статье отмечено, что указанная «унарная операция над суждениями» (например, «над суждением» $~1=1$):

a) теряет смысл в предложении «$~\neg \ \neg (1=1)\to 1=1$» и обретает смысл в предложении «$~1=1\to \neg \ \neg (1=1)$», если речь идёт об интуиционистской логике,

б) имеет смысл в обоих указанных предложениях, если речь идёт о классической логике.

Гильотинирование — унарная операция над человеками, результатом которой является человек (в известном смысле) «противоположный» исходному.

Примечания

1. Негация — самый проблемный префикс математических предложений. Он «расслаивает» математиков на три группы, а именно:

а) «детей», то есть математиков, которые избегают употреблять негацию перед предложением

(например, $~2\geq 1\Leftrightarrow 2>1\ \lor \ 2=1$),

б) «подростков», то есть математиков, которые избегают употреблять более, чем одну негацию перед предложением

(например, $~\neg (2<1)\Leftrightarrow 2>1\ \lor \ 2=1$),

в) «взрослых», то есть математиков, которые употребляют перед предложением столько негаций, сколько «душа пожелает»

(например, $~\neg \ \neg \ \neg (2<1)\Leftrightarrow 2>1\ \lor \ 2=1$).

Отметим, что упомянутые «взрослые», как правило, употребляют не более, чем две негации перед предложением.

2. Вышеуказанное «расслоение» математиков имеет, говоря словами А. Эйнштейна, «внутреннее и внешнее оправдания».

«Внутреннее оправдание» заключается в естественности указанного «расслоения». Оно столь же естественно, как:

1) «расслоение» геометрии на:

а) геометрию с постулатом $~\vdash \ a\subset \alpha \ \land \ A\in \alpha \setminus a\to \exists ^{\{0\}}b\ (A\in b\ \land \ b\subset \alpha \ \land \ a\cap b=\varnothing )$,

б) геометрию с постулатом $~\vdash \ a\subset \alpha \ \land \ A\in \alpha \setminus a\to \exists ^{\{1\}}b\ (A\in b\ \land \ b\subset \alpha \ \land \ a\cap b=\varnothing )$,

в) геометрию с постулатом $~\vdash \ a\subset \alpha \ \land \ A\in \alpha \setminus a\to \exists ^{\{2,...\}}b\ (A\in b\ \land \ b\subset \alpha \ \land \ a\cap b=\varnothing )$;

2) «расслоение» народов Западной (Христианской) цивилизации в соответствии с нормами построения отрицательных предложений.

(cравните, например, Английское предложение [с одним нормативным отрицанием] и Русское предложение [с множественным нормативным отрицанием] «Nobody sees anything. $~\Leftrightarrow$ Никто ничего не видит.»).

«Внешнее оправдание» заключается в востребованности указанного «расслоения». В самом деле:

1) «детское» высказывание $~2>1$ более конкретно, чем «подростковое» высказывание $~\neg (2<1)$, а последнее более лаконично, чем «взрослое» высказывание $~\neg \ \neg \ \neg (2<1)$;

2) за решение неравенства $~2x>4$ учитель математики, согласный с тезисом «Entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem.», поставит:

а) 5 (отлично), если решение имеет «детский» вид $~x>2$,

б) 4 (хорошо), если решение имеет «подростковый» вид $~\neg (x\leq 2)$ или $~\neg (x<2)$,

в) 3 (удовлетворительно), если решение имеет «взрослый» вид $~\neg \ \neg (x>2)$ или $~\neg \ \neg \ \neg (x<2)$.

3. С точки зрения логика, который родился, вырос и живёт в пределах Западной (Христианской) цивилизации, вышеуказанное «расслоение» математиков можно описать следующим образом.

«Математика с взрослым лицом» — это математика, в которой само собой разумеющимися являются высказывание $~\forall a\ (a\leftrightarrow a)$ и высказывание $~\forall a\ (a\leftrightarrow \neg \ \neg \ a)$. Последнее из этих высказываний, «взрослые» [математики] принимают на веру (дескать, так повелось испокон веку) и называют Законом двойного отрицания.

«Математика с детским лицом» — это математика, в которой само собой разумеющимся является высказывание $~\forall a\ (a\leftrightarrow a)$, тогда как «закон двойного отрицания» неприемлим уже потому, что он содержит слишком много негаций.

«Математика с подростковым лицом» — это математика, в которой само собой разумеющимся является высказывание $~\forall a\ (a\leftrightarrow a)$, «закон двойного отрицания» отвергается и, вместе с тем, делается «книксен» в сторону «взрослых» [математиков]. Этот «книксен» может иметь вид, например, высказывания $~\forall a\ (a\to \neg \ \neg \ a)$ (см. статью «Отрицание»).

См. также

• Научная грамотность
• Верификатор
• Квантор