Неопределённый интеграл

Наука
Математика
Файл:Integral indefinidade relação derivada.svg Область математики
Тема	Неопределённый интеграл
Предмет изучения	Интегрирование
Период зарождения	XVII век
Основные направления	математика математический анализ
Вспомогат. дисциплины	алгебра, геометрия
Значительные учёные	Исаак Ньютон, Лейбниц

Неопределённый интегра́л функции Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x)}  — множество всех первообразных Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F(x)+C} данной функции.

Если Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x)} является определённой и непрерывной функцией на множестве Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (a,b)} , а Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F(x)} является её первообразной, то

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C } ,

где С — произвольная постоянная.

Пример: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x^2 + 3x)'= 2x + 3} , значит Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int (2x + 3) dx=x^2 + 3x+ C}

Интегрированием является нахождение неопределённого интеграла от функции, его возможно проверить с помощью обратного действия — дифференцирования.

Основные свойства неопределённого интеграла

Выделяют следующие свойства неопределённого интеграла:

1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Bigl(\int f(x)dx \Bigr)' =f(x) } .
2. Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d\int f(x)dx =f(x)dx} .
3. Неопределённый интеграл от дифференциала функции Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F(x)} равен данной функции:Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int dF(x) =F(x)+C} .
4. Постоянный множитель возможно записать за знаком интеграла:Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int A\cdot f(x)dx =A\cdot \int f(x)dx+C} .
5. Неопределённый интеграл от суммы (разности) подынтегральных функций равен сумме (разности) интегралов этих функций:Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int (f(x)\pm g(x))dx =\int f(x)dx\pm \int g(x)dx +C} .
6. Инвариантность формулы интегрирования. Если Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C} , то и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int f(u)du= F(u)+C} , где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle u=\varphi(x)}  — произвольная функция, которая имеет непрерывную производную.

Таблица основных неопределённых интегралов

Нахождение неопределённого интеграла рациональных функций:

• Интеграл от dx равен x: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int dx=x+C} .
• Интеграл от dx, делённый на x равен натуральному логарифму x по модулю:Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C} .
• Интеграл от dx в степени a равен x в степени a+1, делённый на a+1: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int x^a dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}} (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a\neq -1} ).
• Интеграл от dx, делённый на сумму единицы и x во 2 степени равен арктангенсу x:Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int \frac{dx}{1+x^2}=\arctan x +C} .

Следующие интегралы называют формулами «высоких» логарифмов:

• Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln\frac{x-a}{x+a}+C} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a\neq 0} .
• Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int \frac{dx}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a}\ln\frac{a+x}{a-x}+C} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a\neq 0}

Нахождение неопределённого интеграла экспоненциальных функций:

• Интеграл от a в степени x равен a в степени х, делённый на натуральный логарифм a:Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int a^x dx=\frac{a^x}{\ln a}+C} .
• Интеграл от экспоненты в степени x равен экспоненте в степени х:Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int e^x dx =e^x+C} .

Нахождение неопределённого интеграла тригонометрических функций:

• Интеграл от косинуса x равен синусу x: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int \cos x dx=\sin x+C} .
• Интеграл от синуса x равен минус косинусу x:Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int \sin x dx= -\cos x +C} .
• Интеграл от dx, делённый на косинус во 2 степени x равен тангенсу x:Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int \frac{dx}{cos^2 x} =\tan x+C} .
• Интеграл от dx, делённый на синус во 2 степени x равен минус котангенсу x: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int \frac{dx}{sin^2 x} = -\cot x+C} .

Нахождение неопределённого интеграла иррациональных функций:

• Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x +C}
• Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a} +C} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |x|<a}

Следующий интеграл называют формулой «длинного» логарифма:

• Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln |x+ \sqrt{x^2\pm a^2}| +C} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a\neq 0} .

Основные методы интегрирования

 → Основные методы интегрирования

Метод непосредственного интегрирования

Данный метод подразумевает приведение неопределённого интеграла к его к табличному виду с помощью тождественных преобразований и свойств.

Пример. Найти Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int (x^2 +4)^2 dx}

Решение. Для выполнения задания воспользуемся свойствами и таблицей интегралов: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int (x^2 +4)^2 dx =\int (x^4 + 8x^2 +16)dx = \frac{x^5}{5} + 8\cdot\frac{x^3}{3}+16x+ C}

Метод подстановки (замены переменной)

В данном методе для вычисления неопределённого интеграла вводится новая переменная. При этом интеграл приводится к новому, который можно вычислить с помощью таблицы основных интегралов. Замена переменной используется для интеграла, имеющего сложное подынтегральное выражение.

Для вычисления Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int f(x)dx} , где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x)}  — непрерывная функция, делаем следующую замену: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=\varphi (t)} , следовательно Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle dx=\varphi'(t)dt} .

Тогда Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int f(x)dx=\int f(\varphi (t))\varphi '(t)dt} .

Пример. Найти Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int t\cdot (t+5)^3dt}

Решение. Для того, чтобы решить данное задание необходимо сделать замену: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t+5=x} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=x-5} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle dt=dx} , тогда

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int (x-5) x^3dx =\int (x^4 - 5x^3)dx = \frac{x^5}{5}-5 \frac{x^4}{4}+ C} .

Выполнив обратную замену, получится:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{x^5}{5}-5 \frac{x^4}{4}+ C = \frac{ (t+5)^5}{5}-5 \frac{ (t+5)^4}{4}+ C }

Интегрирование по частям

В данном методе подынтегральное выражение представляется в виде произведения двух функций $u$ и $d\upsilon$. Данные функции берутся таким образом, чтобы интеграл от них можно было найти с помощью непосредственного интегрирования. Далее применяется формула:

$\int u\cdot d\upsilon =u\cdot \upsilon -\int \upsilon \cdot du$

Её также можно применять справа налево.

Пример. Найти $\int (3x+4)cosxdx$

Решение. Для того, чтобы найти данный интеграл, необходимо выполнить замену: $u=3x+4$, $dv=cosxdx$, значит $du=3dx$, $v=sinx$.

Воспользовавшись формулой интегрирования по частям, а затем таблицей интегралов, получится:

$(3x+4)sinx-\int 3sinxdx=(3x+4)sinx-(-3cosx)=(3x+4)sinx+3cosx$.

См.также

• Интеграл

Примечания

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Знание.Вики» («znanierussia.ru») под названием «Неопределённый интеграл», расположенная по следующим адресам: — https://baza.znanierussia.ru/mediawiki/index.php/Неопределённый_интеграл — «https://znanierussia.ru/articles/Неопределённый_интеграл» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Знание.Вики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».