Пал Эрдёш

Пал Эрдёш

Pál Erdős

Дата рождения

26 марта 1913 года

Место рождения

Будапешт, Австро-Венгрия

Дата смерти

20 сентября 1996 года

Место смерти

Варшава, Польша

Научный руководитель

Липот Фейер

Пал Э́рдёш (венг. Erdős Pál, Пауль Эрдёш, Paul Erdős, Paul Erdos) — венгерский, британский, американский и израильский математик, один из величайших математиков XX века, работавший в области комбинаторики, теории графов, теории чисел, математическому анализу, теории приближений, теории множеств и теории вероятностей.

Карьера

Пауль Эрдёш родился 26 марта 1913 года в Будапеште старшим ребёнком в еврейской семье Энглендера Лайоша и Анны Вильгельм. Мать и отец Эрдёша преподавали математику в университете: родители получили математическое образование и работали учителями. Мать в 1919—1920 годах была директором школы. Отец был призван в действующую армию во время Первой мировой войны, попал в плен на русском фронте и провёл несколько лет в качестве военнопленного в Сибири. Многие члены семьи Эрдёша, включая отца, двух тёток и двух дядей, погибли во время Холокоста (мать спаслась скрываясь).

В 3 года у Пауля проявился математический талант, который успешно развивали его родители — в 4 года он перемножал в уме четырёхзначные числа.

В школьные годы неоднократно выигрывал математические олимпиады.

Английская Википедия утверждает, что Эрдёш ложился в постель с матерью вплоть до поступления в университет («he had a close relationship with his mother, with the two of them allegedly sharing the same bed until he left for college»).

В 1930 году в 17 лет поступил в Будапештский университет. Первую научную статью опубликовал в 18-летнем возрасте. В 19 лет нашёл альтернативное доказательство постулата Бертрана, существенно более простое, чем известные до этого. Свою первую теорию сформулировал в 20 лет.

В 1934 году защитил докторскую диссертацию по математике в Будапештском университете.

Однако, из-за растущего антисемитизма решил эмигрировать.

В 1934—1938 годах работал над постдокторатом в Манчестерском университете.

В 1938 году уехал в США, около года работал в принстонском Институте перспективных исследований, затем перешёл в Пенсильванский университет.

В 1938—1948 годах и в 1949—1950 годах работал в различных американских университетах (Пенсильвании, Мичигана, Станфорда, Сиракуз и др.).

В 1948—1949 годах работал в университетах Нидерландов, Великобритании и Венгрии.

С 1950 года был тесно связан с Израилем, с крупными научными математическими центрами, особенно с Технионом, в котором он был приглашенным профессором и куда приезжал каждый год.

В 1950—1951 годах работал в университете Абердин в Шотландии.

В 1951—1952 годах работал в университетском колледже в Лондоне.

В 1952—1953 годах работал в Американском университете в Вашингтоне, сотрудничал с Бюро стандартов и Институтом цифрового анализа в Лос-Анджелесе.

В 1953—1954 годах — приглашенный профессор в университете Нотр-Дам в Индиане.

Затем был профессором Научно-исследовательского института математики Венгерской АН.

Не получил американского гражданства, но с началом маккартизма заслужил репутацию политически подозрительной личности.

После Международного конгресса математиков в Амстердаме в 1954 году Эрдёшу запретили въезд в США. Эрдёш перешёл в израильский Технион, где провёл более 10 лет.

Награды: Стипендия Гуггенхайма (1945, 1946), Премия Коула по теории чисел (1951), Премия имени Кошута (1957), Государственная премия Венгрии (1983), Премия Вольфа по математике (1984, большую часть премии передал Техниону), Золотая медаль Венгерской академии наук (1991).

Эрдёш не признавал собственности: почти все свои средства, в том числе научные премии, учёный жертвовал математически одаренным детям, а также устанавливал денежные призы (от 10 долларов до 10 тысяч долларов) за решение тех или иных математических проблем.

Внёс фундаментальный вклад в теорию чисел, комбинаторику, теорию множеств, теорию вероятностей и некоторые другие области математики. Эрдёш первым применил вероятностные методы в теории чисел, выдвинул интересную гипотезу, которая известна в математике как гипотеза Эрдёша.

Написал за свою жизнь около 1525 статей, что сопоставимо только с числом статей у Эйлера. Число написанных Эрдёш научных статей, так же как и число соавторов этих статей, не имеет аналогов среди современных ему математиков. Он рекордсмен среди математиков по количеству опубликованных работ (более 1500) и по числу соавторов (около 500).

Его книга «Вероятностные методы в комбинаторике» (совместно с Дж. Спенсером, 1976) была переведена на русский язык.

Оставил огромное математическое наследие.

Теория чисел

• Доказал, что существует такое число $c<1$, что для бесконечно многих простых чисел $p$ выполняется $p'-p<c\log p$, где $p'$ следующее простое число.
• Доказал, что для любой константы $c>0$ существует бесконечно много простых чисел $p$, таких что

$p'-p>c{\frac {\log p\log \log p}{(\log \log \log p)^{2}}}$.

• Получил (параллельно с А. Сельбергом и независимо от него) первое элементарное доказательство асимптотического закона распределения простых чисел.
• Дал краткое доказательство расходимости ряда $\sum \limits _{p}{\frac {1}{p}}$ (с суммированием по всем простым) элементарными методами.

Доказательство

Пусть ряд сходится. Тогда для некоторого $k$ выполнено $\sum \limits _{p\geq k}{\frac {1}{p}}<{\frac {1}{2}}$. Пусть зафиксировано некоторое произвольное $N$. Разобьём все числа меньшие $N$ на два класса - те, которые имеют простой делитель $p\geq k$ и те, у которых все простые делители меньше $k$. Количество чисел в первом классе ограничено сверху величиной $\sum \limits _{p\geq k}{\left\lfloor {\frac {N}{p}}\right\rfloor }\leq \sum \limits _{p\geq k}{\frac {N}{p}}<{\frac {N}{2}}$. Каждое число из второго класса представимо в виде $a{b^{2}}$, где $a$ свободно от квадратов, то есть является произведением какого-то набора простых чисел меньших $k$. Кроме того, очевидно, $b\leq {\sqrt {N}}$. Значит, таких чисел существует не более чем ${2^{k}}{\sqrt {N}}$. Рассмотрев это рассуждение для числа $N>2^{2k+2}$ можно получить, что общее количество чисел меньших $N$ будет ${\frac {N}{2}}+{2^{k}}{\sqrt {N}}<{\frac {N}{2}}+{\frac {N}{2}}=N$, что приводит к противоречию, так как каждое число меньше $N$, очевидно, принадлежит ровно к одному классу.

• Доказал, что для $4\leq k<n$ и $l\geq 2$ уравнение $C_{n}^{k}=m^{l}$ не имеет решений в целых числах.

Комбинаторика

• Вероятностный метод
• Вместе с Дьёрдем Секерешем для диагональных чисел Рамсея доказал неравенство

$(1+o(1)){\frac {s2^{s/2}}{{\sqrt {2}}e}}\leq R(s,s)\leq (1+o(1)){\frac {4^{s-1}}{\sqrt {\pi s}}}.$.

• Доказал теорему Эрдёша — Секереша: всякая последовательность не совпадающих действительных чисел длины $(a-1)(b-1)+1$ содержит возрастающую подпоследовательность длины $a$ или убывающую длины $b$.

Геометрия

• Теорема де Брёйна — Эрдёша — проективный аналог теоремы Сильвестра.
• Теорема Эрдёша — Эннинга — утверждение о том, что бесконечное множество точек на плоскости может иметь целые расстояния между точками множества лишь когда все точки лежат на одной прямой.
• Теорема Эрдёша — Сёкефальви-Надя — утверждение о том, что многоугольник без самопересечений может быть преобразован в выпуклый многоугольник посредством конечного числа зеркальных отражений связных компонентов выпуклой оболочки («карманов»).

20 сентября 1996 года скончался от сердечного приступа во время конференции в Польше.

См. также

• Премия Эрдёша