Теория исключения

Теория исключения (англ. Elimination Theory) — систематическая процедура, направленная на последовательное исключение неизвестных для решения системы линейных алгебраических уравнений. В результате последовательного исключения получается эквивалетная система уравнений с меньшим числом неизвестных.

Основным действием исключения является вычитание кратного $l_{ij}$ количества уравнений $j$ из уравнения $i$

${\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\ldots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\ldots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{cases}}$.

Например, если $a_{21}=3$, а $a_{11}=1$, то мы вычитаем $l_{21}=3{\text{-кратно}}$ (то есть, три раза) уравнение $1$ из уравнения $2$. Таким образом во втором уравнении первое слагаемое становится равным нулю.

Все действия по последовательному исключению неизвестных можно совершить с матрицей, соответствующей системе линейных уравнений. Систематически получая нули в матрице, упрощается решение системы линейных алгебраических уравнений. Соответствующая системе линейных уравнений матрица преобразуется в ступенчатый вид. Примером применения теории исключения является метод Гаусса.

---

Например, осуществляя последовательное исключение к системе уравнений $Ax=b$ мы получаем матрицу в ступенчатом виде $Z$

$$A={\begin{bmatrix}1&3&1&9\\1&1&-1&1\\3&11&5&35\end{bmatrix}}\to Z={\begin{bmatrix}1&0&-2&-3\\0&1&1&4\\0&0&0&0\end{bmatrix}}$$

Две ненулевых строки $Z$ являются базисом подпространства строк матрицы $A$, два столбца матрицы $A$ являются базисом подпространства столбцов матрицы $A$. Нуль-пространство матрицы $Z$ равно нуль простраству матрицы $A$

Таким образом, применяя теорию исключения мы упрощаем матрицу $A$ без потери той информации, которая она содержит.

---

Все шаги осуществляемые процедурами теории исключения могут быть осуществлены с применением матриц (См. Матрица исключения). Для небольших матриц теория исключения может быть осуществлена элементарными преобразованиями, однако для больших матриц удобнее применять матрицу исключения.

См. также

• Элементарные преобразования матрицы
• Матрица исключения

Литература

• W. Gröbner On Elimination Theory, Innsbruck

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Руниверсалис» («Руни», руни.рф) под названием «Теория исключения», расположенная по адресу: — https://руни.рф/Теория_исключения Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC BY-SA. Всем участникам Руниверсалиса предлагается прочитать «Обращение к участникам Руниверсалиса» основателя Циклопедии и «Почему Циклопедия?».