Дифференциальное уравнение второго порядка, не содержащее функцию

Дифференциальное уравнение

Дифференциальные уравнения второго порядка, не содержащие функцию — это такие, в которых есть первая и вторая производная и нет функции.

Будем рассматривать дифференциальные уравнения, разрешённые относительно второй производной.

Обозначения

x — переменная — аргумент функции;

y — переменная — функция;

y^’ — производная функции;

y^’’ — вторая производная функции;

y^’’ = f(x, y^’) — общий вид дифференциального уравнения второго порядка, не содержащего функцию и разрешённого относительно второй производной.

Дифференциальное уравнение

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y''=f(x,y') \Leftrightarrow \frac{d^2y}{dx^2}=f\left(x,\frac{dy}{dx}\right)}

Общее решение

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y''=f(x,y') \Leftrightarrow \begin{cases}y'=u(x) \\ y''=u'(x) \\ u'=f(x,u)\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}u=\varphi(x,C_1) \\ y'=u \\ y''=u'\end{cases} \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow \begin{cases}y'(x)=\varphi(x,C_1) \\ y(x)=\int\varphi(x,C_1)dx+C_2 \end{cases}}

Другие дифференциальные уравнения

1. с разделяющимися переменными;
2. однородное;
3. линейное;
4. уравнение Бернулли;
5. Уравнение в полных дифференциалах;
6. уравнение Клеро;
7. уравнение второго порядка, не содержащее y и y^’;
8. уравнение второго порядка, не содержащее y;
9. уравнение второго порядка, не содержащее x;
10. однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами;
11. неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами;
12. уравнение n-ого порядка, содержащее только переменную x;
13. однородное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами;
14. неоднородное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами;
15. общее дифференциальное уравнение.

Литература

• Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа для втузов — М.: Наука, 1973, стр.553.