Дифференциальное уравнение второго порядка, не содержащее функцию

Дифференциальное уравнение

Дифференциальные уравнения второго порядка, не содержащие функцию — это такие, в которых есть первая и вторая производная и нет функции.

Будем рассматривать дифференциальные уравнения, разрешённые относительно второй производной.

Обозначения

x — переменная — аргумент функции;

y — переменная — функция;

y^’ — производная функции;

y^’’ — вторая производная функции;

y^’’ = f(x, y^’) — общий вид дифференциального уравнения второго порядка, не содержащего функцию и разрешённого относительно второй производной.

Дифференциальное уравнение

$y''=f(x,y')\Leftrightarrow {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=f\left(x,{\frac {dy}{dx}}\right)$

Общее решение

$y''=f(x,y')\Leftrightarrow {\begin{cases}y'=u(x)\\y''=u'(x)\\u'=f(x,u)\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}u=\varphi (x,C_{1})\\y'=u\\y''=u'\end{cases}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {\begin{cases}y'(x)=\varphi (x,C_{1})\\y(x)=\int \varphi (x,C_{1})dx+C_{2}\end{cases}}$

Другие дифференциальные уравнения

• с разделяющимися переменными;
• однородное;
• линейное;
• уравнение Бернулли;
• уравнение в полных дифференциалах;
• уравнение Клеро;
• уравнение второго порядка, не содержащее y и y^’;
• уравнение второго порядка, не содержащее y;
• уравнение второго порядка, не содержащее x;
• однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами;
• неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами;
• уравнение n-ого порядка, содержащее только переменную x;
• однородное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами;
• неоднородное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами;
• общее дифференциальное уравнение.

Литература

• Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа для втузов — М.: Наука, 1973, стр.553.