Неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами — это уравнения вида ay’’ + by’ + cy = f(x) (с правой частью).
Обозначения[править]
x — переменная — аргумент функции;
y — переменная — функция;
a, b, c — постоянные коэффициенты;
y’ — производная функции;
y’’ — вторая производная функции;
f(x) — правая часть в дифференциальном уравнении.
Дифференциальное уравнение[править]
- — характеристическое уравнение
- — корни характеристического уравнения.
Возможны три случая для корней характеристического уравнения:
- r1 ≠ r2 — два действительных неравных корня при b2 > 4ac;
- r1 = r2 — два действительных равных корня при b2 = 4ac;
- r1,2 = α ± βi — два сопряжённых комплексных корня при b2 < 4ac.
Введём дополнительные обозначения.
k — кратность корня в характеристическом уравнении;
Pn(x), Qn(x) — многочлены n-степени.
Общее решение[править]
Другие дифференциальные уравнения[править]
- с разделяющимися переменными;
- однородное;
- линейное;
- уравнение Бернулли;
- уравнение в полных дифференциалах;
- уравнение Клеро;
- уравнение второго порядка, не содержащее y и y’;
- уравнение второго порядка, не содержащее y;
- уравнение второго порядка, не содержащее x;
- однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами;
- неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами;
- уравнение n-ого порядка, содержащее только переменную x;
- однородное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами;
- неоднородное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами;
- общее дифференциальное уравнение.
Литература[править]
- Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа для втузов — М.: Наука, 1973, стр.569.