Уравнение в полных дифференциалах

Видеоурок «Уравнение в полных дифференциалах» // Математика от alwebra.com.ua [5:20]

Уравнение в полных дифференциалах — это дифференциальное уравнение, в котором левая часть выражена как полный дифференциал некоторой функции F(x, y), а правая равна нулю.

Будем рассматривать дифференциальные уравнения первого порядка в полных дифференциалах вида P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0.

В том случае, когда функции P(x, y) и Q(x, y) и их частные производные непрерывны в односвязной области, уравнение P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 будет уравнением в полных дифференциалах, если ∂P(x, y)/∂y = −∂Q(x, y)/∂x.

Обозначения

x — переменная — аргумент функции;

y — переменная — функция;

dx — дифференциал аргумента;

dy — дифференциал функции;

F(x, y) — первообразная функция, при равенстве константе задающая неявно решение y = y(x).

Уравнение

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

∂P(x,y)/∂y=−∂Q(x,y)/∂x

Общее решение

F(x,y)=∫P(x,y)dx⇔F(x,y)=−∫Q(x,y)dy⇔F(x,y)=C

Другие дифференциальные уравнения

1. с разделяющимися переменными;
2. однородное;
3. линейное;
4. уравнение Бернулли;
5. Уравнение в полных дифференциалах;
6. уравнение Клеро;
7. уравнение второго порядка, не содержащее y и y^’;
8. уравнение второго порядка, не содержащее y;
9. уравнение второго порядка, не содержащее x;
10. однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами;
11. неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами;
12. уравнение n-ого порядка, содержащее только переменную x;
13. однородное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами;
14. неоднородное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами;
15. общее дифференциальное уравнение.

Литература

• Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа для втузов — М.: Наука, 1973, стр.540.