Циклопедия скорбит по жертвам террористического акта в Крокус-Сити (Красногорск, МО)
Уравнение в полных дифференциалах
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Уравнение в полных дифференциалах — это дифференциальное уравнение, в котором левая часть выражена как полный дифференциал некоторой функции F(x, y), а правая равна нулю.
Будем рассматривать дифференциальные уравнения первого порядка в полных дифференциалах вида P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0.
В том случае, когда функции P(x, y) и Q(x, y) и их частные производные непрерывны в односвязной области, уравнение P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 будет уравнением в полных дифференциалах, если ∂P(x, y)/∂y = −∂Q(x, y)/∂x.
Обозначения[править]
x — переменная — аргумент функции;
y — переменная — функция;
dx — дифференциал аргумента;
dy — дифференциал функции;
F(x, y) — первообразная функция, при равенстве константе задающая неявно решение y = y(x).
Уравнение[править]
- P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0
- ∂P(x, y)/∂y = −∂Q(x, y)/∂x
Общее решение[править]
- F(x, y) = ∫P(x, y)dx ⇔ F(x, y) = −∫Q(x, y)dy ⇔ F(x, y) = C
Другие дифференциальные уравнения[править]
- с разделяющимися переменными;
- однородное;
- линейное;
- уравнение Бернулли;
- уравнение в полных дифференциалах;
- уравнение Клеро;
- уравнение второго порядка, не содержащее y и y’;
- уравнение второго порядка, не содержащее y;
- уравнение второго порядка, не содержащее x;
- однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами;
- неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами;
- уравнение n-ого порядка, содержащее только переменную x;
- однородное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами;
- неоднородное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами;
- общее дифференциальное уравнение.
Литература[править]
- Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа для втузов — М.: Наука, 1973, стр.540.