Циклопедия скорбит по жертвам террористического акта в Крокус-Сити (Красногорск, МО)

Уравнение в полных дифференциалах

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Видеоурок «Уравнение в полных дифференциалах» // Математика от alwebra.com.ua [5:20]

Уравнение в полных дифференциалах — это дифференциальное уравнение, в котором левая часть выражена как полный дифференциал некоторой функции F(x, y), а правая равна нулю.

Будем рассматривать дифференциальные уравнения первого порядка в полных дифференциалах вида P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0.

В том случае, когда функции P(x, y) и Q(x, y) и их частные производные непрерывны в односвязной области, уравнение P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 будет уравнением в полных дифференциалах, если ∂P(x, y)/∂y = −∂Q(x, y)/∂x.

Обозначения[править]

x — переменная — аргумент функции;

y — переменная — функция;

dx — дифференциал аргумента;

dy — дифференциал функции;

F(x, y) — первообразная функция, при равенстве константе задающая неявно решение y = y(x).

Уравнение[править]

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0
∂P(x, y)/∂y = −∂Q(x, y)/∂x

Общее решение[править]

F(x, y) = P(x, y)dx F(x, y) = −Q(x, y)dy F(x, y) = C

Другие дифференциальные уравнения[править]


Литература[править]

  • Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа для втузов — М.: Наука, 1973, стр.540.