Однородное дифференциальное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами

Однородные дифференциальные уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами — это уравнения вида a_ny⁽ⁿ⁾ + … + a₁y^’ + a₀y = 0 (без правой части).

Обозначения

x — переменная — аргумент функции;

y — переменная — функция;

a_j — j-ый коэффициент в уравнении;

y^’ — производная функции;

…

y⁽ⁿ⁾ — n-ая производная функции.

Дифференциальное уравнение

 — характеристическое уравнение

Пусть среди корней характеристического уравнения m пар сопряжённых комплексных корней вида r_2j-1,2j=α_j±β_ji и (n-2m) действительных корней вида α_2m+j.

 — корни характеристического уравнения.

Общее решение

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y=\sum\limits_{j=1}^me^{\alpha_jx}\left(C_{2j-1}\cos\beta_jx+C_{2j}\sin\beta_jx\right)+\sum\limits_{j=2m+1}^nC_je^{\alpha_jx}}

Другие дифференциальные уравнения

1. с разделяющимися переменными;
2. однородное;
3. линейное;
4. уравнение Бернулли;
5. Уравнение в полных дифференциалах;
6. уравнение Клеро;
7. уравнение второго порядка, не содержащее y и y^’;
8. уравнение второго порядка, не содержащее y;
9. уравнение второго порядка, не содержащее x;
10. однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами;
11. неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами;
12. уравнение n-ого порядка, содержащее только переменную x;
13. однородное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами;
14. неоднородное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами;
15. общее дифференциальное уравнение.

Литература

• Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа для втузов — М.: Наука, 1973, стр.578.

Ссылки

• Участник:Logic-samara