Интегральная показательная функция

Интегральная показательная функция — это интегральная функция от отрицательной действительной переменной, имеющая интегральное представление с переменным пределом интегрирования, определяемая по формуле:

$Ei(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}dt,\ x<0$.

Обозначения:

x — действительная переменная, переменный предел интегрирования;

Ei(x) — интегральная показательная функция.

Формулы

$Ei(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}dt,\ x<0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow Ei(x)=C+\ln(-x)+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n\cdot n!}},\ x<0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow Ei(x)=C+\ln(-x)+x+{\frac {x^{2}}{2\cdot 2!}}+{\frac {x^{3}}{3\cdot 3!}}+{\frac {x^{4}}{4\cdot 4!}}+{\frac {x^{5}}{5\cdot 5!}}+{\frac {x^{6}}{6\cdot 6!}}+{\frac {x^{7}}{7\cdot 7!}}+\ldots ,\ x<0$

Здесь C = 0,5772157… — постоянная Эйлера-Маскерони.

Другие функции:

• интегральный синус;
• интегральный косинус;
• интегральная показательная функция;
• интегральный логарифм;
• гамма-функция;
• бета-функция;
• неполная гамма-функция;
• неполная бета-функция.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970, стр.625.