Бета-функция

Интеграл Эйлера I рода

Факториал дробного числа. Гамма-функция и бета-функция // Точки Лагранжа [56:21]

Бета-функция — это специальная функция от двух комплексных переменных, имеющая интегральное представление.

Бета-функция

Обозначения

x₁ = Re(z₁) — действительная часть (абсцисса) первого числа;

y₁ = Im(z₁) — мнимая часть (ордината) первого числа;

x₂ = Re(z₂) — действительная часть (абсцисса) второго числа;

y₂ = Im(z₂) — мнимая часть (ордината) второго числа;

z₁ = x₁ + iy₁ — первое комплексное число;

z₂ = x₂ + iy₂ — второе комплексное число;

t — параметр интегрирования;

φ — параметр интегрирования;

Г(z) — гамма-функция;

B(z₁,z₂) — бета-функция.

Формулы:

Интеграл Эйлера I рода

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B(x_1+iy_1,x_2+iy_2)=\int\limits_0^1t^{x_1-1+iy_1}(1-t)^{x_2-1+iy_2}dt, \ x_1 > 0, \ x_2 > 0 \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow B(z_1,z_2)=\int\limits_0^1t^{z_1-1}(1-t)^{z_2-1}dt, \ Re(z_1) > 0, \ Re(z_2) > 0}

Интегральное представление

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B(x_1+iy_1,x_2+iy_2)=\int\limits_0^\infty\frac{t^{x_1-1+iy_1}}{(1+t)^{x_1+iy_1+x_2+iy_2}}dt, \ x_1 > 0, \ x_2 > 0 \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow B(z_1,z_2)=\int\limits_0^\infty\frac{t^{z_1-1}}{(1+t)^{z_1+z_2}}dt, \ Re(z_1) > 0, \ Re(z_2) > 0 }

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow B(z_1,z_2)=2\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2z_1-1}\varphi\cos^{2z_2-1}\varphi d\varphi, \ Re(z_1) > 0, \ Re(z_2) > 0}

Свойства

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B(x_1+iy_1,x_2+iy_2)=\frac{\Gamma(x_1+iy_1)\Gamma(x_2+iy_2)}{\Gamma(x_1+iy_1+x_2+iy_2)} \Leftrightarrow B(z_1,z_2)=\frac{\Gamma(z_1)\Gamma(z_2)}{\Gamma(z_1+z_2)}}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B(x_1+iy_1,x_2+iy_2)=B(x_2+iy_2,x_1+iy_1) \Leftrightarrow B(z_1,z_2)=B(z_2,z_1)}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B(x_1+iy_1,x_2+iy_2)B(x_1+iy_1+x_2+iy_2,x_3+iy_3)=}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle =B(x_2+iy_2,x_3+iy_3)B(x_2+iy_2+x_3+iy_3,x_1+iy_1) \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow B(z_1,z_2)B(z_1+z_2,z_3)=B(z_2,z_3)B(z_2+z_3,z_1)}

Примеры

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B(n_1,n_2)=\frac{\Gamma(n_1)\Gamma(n_2)}{\Gamma(n_1+n_2)}, \ n_1 \in \mathbb{N}, \ n_2 \in \mathbb{N} \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow B(n_1,n_2)=\frac{(n_1-1)!(n_2-1)!}{(n_1+n_2-1)!}, \ n_1 \in \mathbb{N}, \ n_2 \in \mathbb{N}}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B\left(n_1+\frac{1}{2},n_2+\frac{1}{2}\right)=\frac{\Gamma\left(n_1+\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(n_2+\frac{1}{2}\right)}{\Gamma(n_1+n_2+1)}, \ n_1 \in \mathbb{N}, \ n_2 \in \mathbb{N} \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow B\left(n_1+\frac{1}{2},n_2+\frac{1}{2}\right)=\frac{(2n_1-1)!!(2n_2-1)!!}{2^{n_1+n_2}(n_1+n_2)!}\pi, \ n_1 \in \mathbb{N}, \ n_2 \in \mathbb{N}}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B\left(\frac{1}{2}+n,\frac{1}{2}-n\right)=\Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}-n\right), \ n \in \mathbb{N} \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow B\left(\frac{1}{2}+n,\frac{1}{2}-n\right)=(-1)^n\pi}

См. также

• Бета-распределение

Другие функции:

1. интегральный синус;
2. интегральный косинус;
3. интегральная показательная функция;
4. интегральный логарифм;
5. гамма-функция;
6. бета-функция;
7. неполная гамма-функция;
8. неполная бета-функция.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970, стр. 638.