Факториал дробного числа. Гамма-функция и бета-функция // Точки Лагранжа [56:21]
Бета-функция — это специальная функция от двух комплексных переменных, имеющая интегральное представление:
.
x1 = Re(z1) — действительная часть (абсцисса) первого числа;
y1 = Im(z1) — мнимая часть (ордината) первого числа;
x2 = Re(z2) — действительная часть (абсцисса) второго числа;
y2 = Im(z2) — мнимая часть (ордината) второго числа;
z1 = x1 + iy1 — первое комплексное число;
z2 = x2 + iy2 — второе комплексное число;
t — параметр интегрирования;
φ — параметр интегрирования;
Г(z) — гамма-функция;
B(z1,z2) — бета-функция.
Интеграл Эйлера I рода[править]
![{\displaystyle B(x_{1}+iy_{1},x_{2}+iy_{2})=\int \limits _{0}^{1}t^{x_{1}-1+iy_{1}}(1-t)^{x_{2}-1+iy_{2}}dt,\ x_{1}>0,\ x_{2}>0\Leftrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59974294b0d2044d44af4d3aa70ee212bafde457)
![{\displaystyle \Leftrightarrow B(z_{1},z_{2})=\int \limits _{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}dt,\ Re(z_{1})>0,\ Re(z_{2})>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6e6b8d2b8ec31527a8b4bacb1fea58db4430691)
Интегральное представление[править]
![{\displaystyle B(x_{1}+iy_{1},x_{2}+iy_{2})=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{x_{1}-1+iy_{1}}}{(1+t)^{x_{1}+iy_{1}+x_{2}+iy_{2}}}}dt,\ x_{1}>0,\ x_{2}>0\Leftrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df199ec93614478ced78ca6ec1ff265e489c4e25)
![{\displaystyle \Leftrightarrow B(z_{1},z_{2})=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{z_{1}-1}}{(1+t)^{z_{1}+z_{2}}}}dt,\ Re(z_{1})>0,\ Re(z_{2})>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06bf7cfceef826618e130f6159d9da8eeec5e4f4)
![{\displaystyle \Leftrightarrow B(z_{1},z_{2})=2\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2z_{1}-1}\varphi \cos ^{2z_{2}-1}\varphi d\varphi ,\ Re(z_{1})>0,\ Re(z_{2})>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a01d2d83280357ca252efe517159cbb10486b94)
![{\displaystyle B(x_{1}+iy_{1},x_{2}+iy_{2})={\frac {\Gamma (x_{1}+iy_{1})\Gamma (x_{2}+iy_{2})}{\Gamma (x_{1}+iy_{1}+x_{2}+iy_{2})}}\Leftrightarrow B(z_{1},z_{2})={\frac {\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/437f9d932c1a3f910ad9762a61326a47dcad4472)
![{\displaystyle B(x_{1}+iy_{1},x_{2}+iy_{2})=B(x_{2}+iy_{2},x_{1}+iy_{1})\Leftrightarrow B(z_{1},z_{2})=B(z_{2},z_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24caacc2d05a5703c6e5c846a1a58f75757996d0)
![{\displaystyle B(x_{1}+iy_{1},x_{2}+iy_{2})B(x_{1}+iy_{1}+x_{2}+iy_{2},x_{3}+iy_{3})=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60f2bec47c44a1e88a34b82c316bbe55d145f6b8)
![{\displaystyle =B(x_{2}+iy_{2},x_{3}+iy_{3})B(x_{2}+iy_{2}+x_{3}+iy_{3},x_{1}+iy_{1})\Leftrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26e86fe13836b66567740b09b40f055c9bd8a259)
![{\displaystyle \Leftrightarrow B(z_{1},z_{2})B(z_{1}+z_{2},z_{3})=B(z_{2},z_{3})B(z_{2}+z_{3},z_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eebaa135ea88e2341b793b320b586ab8ba3492de)
![{\displaystyle B(n_{1},n_{2})={\frac {\Gamma (n_{1})\Gamma (n_{2})}{\Gamma (n_{1}+n_{2})}},\ n_{1}\in \mathbb {N} ,\ n_{2}\in \mathbb {N} \Leftrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/392b44d5ebc1fcc6bfce968ef5cee5aff6490fc9)
![{\displaystyle \Leftrightarrow B(n_{1},n_{2})={\frac {(n_{1}-1)!(n_{2}-1)!}{(n_{1}+n_{2}-1)!}},\ n_{1}\in \mathbb {N} ,\ n_{2}\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9a6c04e99777ccae0261eb4fa6cc551c6b2d79b)
![{\displaystyle B\left(n_{1}+{\frac {1}{2}},n_{2}+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma \left(n_{1}+{\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left(n_{2}+{\frac {1}{2}}\right)}{\Gamma (n_{1}+n_{2}+1)}},\ n_{1}\in \mathbb {N} ,\ n_{2}\in \mathbb {N} \Leftrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7909d766091b563360c499658c524e16beefb007)
![{\displaystyle \Leftrightarrow B\left(n_{1}+{\frac {1}{2}},n_{2}+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {(2n_{1}-1)!!(2n_{2}-1)!!}{2^{n_{1}+n_{2}}(n_{1}+n_{2})!}}\pi ,\ n_{1}\in \mathbb {N} ,\ n_{2}\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/348a821c923f3a1c32fd5cdd80c749e99883c072)
![{\displaystyle B\left({\frac {1}{2}}+n,{\frac {1}{2}}-n\right)=\Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right),\ n\in \mathbb {N} \Leftrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/226aff18922222715957d0a368e34d77b5b27041)
![{\displaystyle \Leftrightarrow B\left({\frac {1}{2}}+n,{\frac {1}{2}}-n\right)=(-1)^{n}\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c29ce976e97b7736e7a6640e44cfbf8770f3085)
- Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970, стр.638.