Неполная бета-функция

Формула

Неполная бета-функция — это специальная функция от двух комплексных переменных, имеющая интегральное представление с переменным верхним пределом интегрирования, вычисляемая по формуле:

$B_{x}(x_{1}+iy_{1},x_{2}+iy_{2})=\int \limits _{0}^{x}t^{x_{1}-1+iy_{1}}(1-t)^{x_{2}-1+iy_{2}}dt,\ x_{1}>0,\ x_{2}>0,\ 0\leq x\leq 1\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow B_{x}(z_{1},z_{2})=\int \limits _{0}^{x}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}dt,\ Re(z_{1})>0,\ Re(z_{2})>0,\ 0\leq x\leq 1$.

При x = 1 неполная бета-функция становится полной бета-функцией.

Обозначения

x₁ = Re(z₁) — действительная часть (абсцисса) первого числа;

y₁ = Im(z₁) — мнимая часть (ордината) первого числа;

x₂ = Re(z₂) — действительная часть (абсцисса) второго числа;

y₂ = Im(z₂) — мнимая часть (ордината) второго числа;

z₁ = x₁ + iy₁ — первое комплексное число;

z₂ = x₂ + iy₂ — второе комплексное число;

x — переменный верхний предел интегрирования;

t — параметр интегрирования;

B_x (z₁,z₂) — неполная бета-функция.

Другие функции:

• интегральный синус;
• интегральный косинус;
• интегральная показательная функция;
• интегральный логарифм;
• гамма-функция;
• бета-функция;
• неполная гамма-функция;
• неполная бета-функция.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970, стр.638.