Интегральный синус

Интегральный синус — это интегральная функция от действительной переменной, имеющая интегральное представление с переменным пределом интегрирования:

$Si(x)=\int \limits _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}dt,\ x\in \mathbb {R}$.

Обозначения:

x — действительная переменная, переменный предел интегрирования;

Si(x) — интегральный синус.

Формулы

$Si(x)=\int \limits _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}dt,\ x\in \mathbb {R} \Leftrightarrow Si(x)={\frac {\pi }{2}}-\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}dt,\ x\in \mathbb {R} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow Si(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}},\ x\in \mathbb {R} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow Si(x)=x-{\frac {x^{3}}{3\cdot 3!}}+{\frac {x^{5}}{5\cdot 5!}}-{\frac {x^{7}}{7\cdot 7!}}+{\frac {x^{9}}{9\cdot 9!}}-{\frac {x^{11}}{11\cdot 11!}}+\ldots ,\ x\in \mathbb {R}$

• При x = ∞ интегральный синус равен π/2.

Другие функции:

• интегральный синус;
• интегральный косинус;
• интегральная показательная функция;
• интегральный логарифм;
• гамма-функция;
• бета-функция;
• неполная гамма-функция;
• неполная бета-функция.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970, стр.625.