Гамма-функция

Гамма-функция, x=Re(z)

Полезные мелочи / Гамма-функция / 1 // Павел Шестопалов [6:16]

Гамма-функция — специальная функция от комплексной переменной.

Имеет интегральное представление, для положительной действительной части аргумента в виде интеграла Эйлера второго рода, для отрицательной действительной части — интегральное представление Ганкеля:

$\Gamma (x+iy)=\int \limits _{0}^{\infty }t^{x-1+iy}e^{-t}dt,\ x>0$;

$\Gamma (x+iy)={\frac {2\pi i}{\oint \limits _{C}t^{-x-iy}e^{t}dt}},\ x<0$.

(Контур C идёт из -∞ по отрицательной части действительной оси, обходит начало координат в положительном направлении (против часовой стрелки) и опять по отрицательной части оси абсцисс возвращается к исходной точке).

Обозначения

x = Re(z) — действительная часть (абсцисса) числа;

y = Im(z) — мнимая часть (ордината) числа;

z = x + iy — аргумент — комплексного числа;

Г(z) — гамма-функция.

Формулы

Интеграл Эйлера II рода

$\Gamma (x+iy)=\int \limits _{0}^{\infty }t^{x-1+iy}e^{-t}dt,\ x>0\Leftrightarrow \Gamma (z)=\int \limits _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt,\ Re(z)>0$

Интегральное представление Ганкеля

$\Gamma (x+iy)={\frac {2\pi i}{\oint \limits _{C}t^{-x-iy}e^{t}dt}},\ x<0\Leftrightarrow \Gamma (z)={\frac {2\pi i}{\oint \limits _{C}t^{-z}e^{t}dt}},\ Re(z)<0$, где

C — контур идёт из -∞ по отрицательной части действительной оси, обходит начало координат в положительном направлении (против часовой стрелки) и опять по отрицательной части оси абсцисс возвращается к исходной точке.

Свойства:

$\Gamma (x+iy)=(x-1+iy)\Gamma (x-1+iy)\Leftrightarrow \Gamma (z)=(z-1)\Gamma (z-1)$

$\Gamma (x+1+iy)=(x+iy)\Gamma (x+iy)\Leftrightarrow \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)$

$\Gamma (x+iy)\Gamma (1-x-iy)={\frac {\pi }{\sin \left[\pi (x+iy)\right]}}\Leftrightarrow \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin(\pi z)}}$

$\Gamma \left({\frac {1}{2}}+x+iy\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}-x-iy\right)={\frac {\pi }{\cos \left[\pi (x+iy)\right]}}\Leftrightarrow \Gamma \left({\frac {1}{2}}+z\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}-z\right)={\frac {\pi }{\cos(\pi z)}}$

Примеры:

$\Gamma (n)=(n-1)!,\ n\in \mathbb {N} \Leftrightarrow \Gamma (1)=1$, $\Gamma (2)=1$, $\Gamma (3)=2$, $\Gamma (4)=6$, $\Gamma (5)=24$, $\Gamma (6)=120$, $\Gamma (7)=720,\ldots$

$\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}$

$\Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }},\ n\in \mathbb {N} \Leftrightarrow \Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)={\frac {(2n)!}{4^{n}n!}}{\sqrt {\pi }},\ n\in \mathbb {N} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}$, $\Gamma \left({\frac {5}{2}}\right)={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}$, $\Gamma \left({\frac {7}{2}}\right)={\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}$, $\Gamma \left({\frac {9}{2}}\right)={\frac {105{\sqrt {\pi }}}{16}}$, $\Gamma \left({\frac {11}{2}}\right)={\frac {945{\sqrt {\pi }}}{32}}$, $\Gamma \left({\frac {13}{2}}\right)={\frac {10395{\sqrt {\pi }}}{64}}$, $\Gamma \left({\frac {15}{2}}\right)={\frac {135135{\sqrt {\pi }}}{128}},\ldots$

$\Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}{\sqrt {\pi }},\ n\in \mathbb {N} \Leftrightarrow \Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)={\frac {(-4)^{n}n!}{(2n)!}}{\sqrt {\pi }},\ n\in \mathbb {N} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \Gamma \left(-{\frac {1}{2}}\right)=-2{\sqrt {\pi }}$, $\Gamma \left(-{\frac {3}{2}}\right)={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}$, $\Gamma \left(-{\frac {5}{2}}\right)=-{\frac {8{\sqrt {\pi }}}{15}}$, $\Gamma \left(-{\frac {7}{2}}\right)={\frac {16{\sqrt {\pi }}}{105}}$, $\Gamma \left(-{\frac {9}{2}}\right)={\frac {32{\sqrt {\pi }}}{945}}$, $\Gamma \left(-{\frac {11}{2}}\right)=-{\frac {64{\sqrt {\pi }}}{10395}}$, $\Gamma \left(-{\frac {13}{2}}\right)={\frac {128{\sqrt {\pi }}}{135135}},\ldots$

$\Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)=(-1)^{n}\pi ,\ n\in \mathbb {N}$

Другие функции:

• интегральный синус;
• интегральный косинус;
• интегральная показательная функция;
• интегральный логарифм;
• гамма-функция;
• бета-функция;
• неполная гамма-функция;
• неполная бета-функция.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970, стр.633.