Степенной ряд

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Наука
Математика
Тема

Степенные ряды

Предмет изучения

Действия со степенными рядами

Период зарождения

XVII век

Основные направления

математика
математический анализ

Вспомогат. дисциплины

алгебра, геометрия, математический анализ

 Просмотреть·Обсудить·Изменить

Степенно́й ряд — частный случай функционального ряда, где:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \displaystyle u_n(x), u_n(x)=a_n(x-r)^n}

x — переменная, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_n}  — коэффициенты степенного ряда, r — центр степенного ряда[1].

Сходимость степенных рядов[править]

Сумму Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_n} первых 𝑛 членов степенного ряда называют n-й частичной суммой: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_n(x)= a_0+a_1(x - r) +a_2(x - r)^2+...+a_2(x - r) ^n} . Если существует конечный предел для любого определённого значения x (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \forall x} ): Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n(x)= S (x)} тогда ряд является сходящимся, если сумма его членов стремится к определённому значению S(x), которое и называется суммой данного ряда.

Если ряд, составленный из модулей его членов, также сходится, то его называют абсолютно сходящимся. Что касается степенного ряда, то его интервал сходимости определяется следующим образом: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (r-R,r+ R )} , где R — радиус сходимости степенного ряда. Степенной ряд сходится при: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |x-r | <R} [1].

Основные признаки сходимости[править]

Теорема Абеля[править]

Теорема Абеля гласит о том, что если степенной ряд Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \sum_{n=1}^\infty \displaystyle u_n(x), u_n(x)=a_n(x-r)^n} сходится в точке Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r\neq0} , то он сходится, и притом абсолютно, для любого r, удовлетворяющего неравенству Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |r|< R} , где R — радиус сходимости ряда, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |r|< R }  — круг сходимости ряда. Из данной теоремы следует, что существует положительное число R, что при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |r|< R} ряд сходится, а при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |r|> R} расходится, таким образом, окружность Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |r| = R} разделяет плоскость на две части: внутри круга ряд сходится, вне — расходится[2].

Формула Коши-Адамара[править]

Радиус сходимости степенного ряда определяется по формуле Коши-Адамара Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R=\frac{1}{{\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}}}} . В данном случае Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{ |a_n| } = \ell}  — верхний предел последовательности Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c_n = \sqrt[n]{|a_n|}} . Существует он постоянно и притом является единственным. Если Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell=+\infty} , то Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R=0} , если же Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell=0} считают, что Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R=\infty} [3].

Признак Даламбера[править]

Пусть дан ряд с положительными членами Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \displaystyle u_n(x)} и существует конечный предел Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{u_{n+1} }{u_n}=1} . Тогда, если Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R< 1} , то данный ряд сходится, если же Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R>1} , то — расходится. В случае Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R=1} , ряд может как сходиться, так и расходиться и требуется исследовать ряд другими методами[4].

Свойства степенных рядов[править]

Основными свойствами степенных рядов являются[4]:

  1. Когда Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R\neq0} , то применение теоремы Вейерштрасса позволяет утверждать равномерную сходимость ряда Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |r|\leq t} для любого положительного t меньшего радиуса круга, при этом равномерная сходимость степенного ряда внутри соответствующего круга гарантируется.
  2. Из условий аналитической природы членов степенного ряда и свойств равномерной сходимости следует: сумма такого ряда в пределах его области (края радиуса R) представляет собой функцию, которая является аналитичной.
  3. Каждый член ряда допускает многократное (любое количество) интегрирование по переменной r, сохраняя свойства суммирования внутри круга, где абсолютная величина радиуса меньше установленного предела. По аналогии с интеграцией, степенные члены ряда разрешено дифференцировать столько раз, сколько нужно. Это означает, что возможна дифференциация 1-го порядка, дифференциация 2-го порядка и так далее для любого числа дифференцирований, при условии нахождения внутри круга сходимости.

Источники[править]

  1. ↑ 1,0 1,1 Горбунова Н.Ю., Платонова Н.Н. Ряды: учебное пособие. — Пермь: ИПЦ «Прокростъ», 2017. — ISBN 978-5-94279-352-4.
  2. ↑ Кудрявцев Л.Д Курс математического анализа. — Москва: Высшая Школа, 1981.
  3. ↑ Гредасова Н.В., Желонкина Н.И., Корешникова М.А., Полищук Е.Г., Андреева И.Ю. Ряды: учебное пособие. — Екатеринбург: Издательство Уральского университета, 2016. — ISBN ISBN 978-5-7996-1814-8.
  4. ↑ 4,0 4,1 Волков В.А. Ряды, интеграл Фурье. — Екатеринбург: Издательство Уральского университета, 2015.
Знание.Вики

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Знание.Вики» («znanierussia.ru») под названием «Степенные ряды», расположенная по следующим адресам:

—https://baza.znanierussia.ru/mediawiki/index.php/Степенные_ряды
—«https://znanierussia.ru/articles/Степенные_ряды»

Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий.

Всем участникам Знание.Вики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».

Источник — http://cyclowiki.org/w/index.php?title=Степенной_ряд&oldid=2206047